Questão ITA

por **Pedro123** » Ter Fev 22, 2011 20:55

Galera, não consigo fazer essa questão de jeito nenhum, ve se alguem me da uma força abraços

(ITA - 1995) Considere C uma circunferência

centrada em O e raio 2r, e t a reta tangente a C num ponto T. Considere também A um ponto de C tal que AÔT =? é um ângulo agudo. Sendo B o ponto de t tal que o segmentoAB é paralelo ao segmento
OT, então a área do trapézio OABT é igual a:

(A) r²(2 cos? - cos 2?)
(B) 2r²(4 cos? - sen 2?)
(C) r²(4 sen? - sen 2?)
(D) r²(2 sen? + cos?)
(E) 2r²(2 sen 2? - cos 2?)

por **Renato_RJ** » Ter Fev 22, 2011 22:55

Campeão, você teria a resposta ? Quero dizer, qual é a opção certa, pois fiz umas contas aqui e cheguei a um resultado, mas como geometria euclidiana não é a minha "praia", posso ter errado algo, e com o resultado posso postar a solução (ou não, se eu tiver errado), pois pensei assim:

Teremos um trapézio, a área do trapézio é $A = \frac{AB + OT}{2} \cdot h$ sendo h a altura do trapézio, sendo que OT = 2r.

AB seria a soma do trecho AK (sendo K o ponto de projeção de O no segmento AB) com 2r (projeção de OT no segmento AB), então para calcular h você teria que utilizar coseno de B, sendo $B = 180 - \Theta$ , para achar AK:

$AK = OA \cdot sen B$

Então é só montar a equação da área com esses valores...

Abs,
Renato.

por **LuizAquino** » Ter Fev 22, 2011 23:41

A figura abaixo ilustra os dados do exercício.

: ita-circulo.png (16.02 KiB) Exibido 2886 vezes

A área do trapézio será dada por $A_T = \frac{(\overline{OT} + \overline{AB})\overline{TB}}{2}$ .

Facilmente determinamos que $\overline{TB} = \overline{DA} = 2r\sin \theta$ , usando o triângulo ODA.

Como $\overline{OT} = 2r$ , falta determinar $\overline{AB}$ . Para isso, vamos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulos ODA (lembrando que $\overline{TB} = \overline{DA}$ ).

$(2r)^2= \overline{TB}^2 + (\overline{OT} - \overline{AB})^2 \, \Rightarrow \overline{AB} = 2r(1-\cos \theta)$ (fica como exercício desenvolver essa parte

)

Substituindo tudo para calcular a área:
$A_T = \frac{[2r + 2r(1-\cos\theta)](2r\sin\theta)}{2} = r^2(4-2\cos\theta)\sin\theta$ $= r^2(4\sin\theta-2\sin\theta\cos\theta) = r^2(4\sin\theta-\sin 2\theta)$

por **Renato_RJ** » Qua Fev 23, 2011 11:28

Luiz, cheguei ao mesmo resultado que você, mas fui por um lado mais complicado.. Hehehehe....

por **Pedro123** » Qua Fev 23, 2011 20:49

Valeu a todos galera, olha a besteira, tava fazendo o mais dificil, fazia tudo certo e esquecia de botar a area do triangulo dividida por 2 kkkkkkkk
mas muito obrigado a todos

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