Divisão de fração algébrica 2

por **lucas7** » Seg Fev 21, 2011 21:37

Tenho mais uma pergunta:

$\frac{3a-3b+ax-bx}{x^3-x-x^2+1} : \frac{3+x}{x^2-1}$

Fatorando cheguei até: $\frac{a(3+x)-b(3+x)(x^2-1)}{(x^2+1).x(x^2-1)(3+x)}$

Até aí está certo? Como prossigo? O gabarito diz $\frac{a-b}{x-1}$
obrigado novamente

por **LuizAquino** » Seg Fev 21, 2011 23:08

Veja se o tópico abaixo ajuda:
Dúvida na Fatoração
viewtopic.php?f=68&t=3842

por **lucas7** » Seg Fev 21, 2011 23:46

O denominador da questão então seria (x^3-x-x^2+1)(3+x)

que equivale a 3x^4-3x^3-3x^2+3x

, para eu deduzir uma raiz eu faria x(3x^3-3x^2-3x+3)

,

"Basta substituir x por (-3 no caso) nessa equação e você verá que ela é válida. " não caiu a ficha muito bem, mas fiz -3(3.-3^3)-3.(-3^2)-3.(-3)+3

deu -42.

Como (-3) é uma raíz, você pode reduzir o grau desse polinômio para achar as outras duas raízes. Para isso, você pode dividir o polinômio por (x+3).

$\frac{3x^3-3x^2-3x+3}{x+3}$

Mas acho que já me perdi completamente, tem como você explicar de uma maneira diferente, por favor? Obrigado

por **LuizAquino** » Ter Fev 22, 2011 00:05

Exercício: Fatore x^3-x^2 - x +1

.

Para fatorar esse polinômio você precisa encontrar as raízes da equação:
x^3-x^2-x+1 = 0

Note que 1 é raiz dessa equação, pois substituindo x por 1 nós teremos:
1^3-1^2-1+1 = 0

Para achar as outras raízes, podemos reduzir o grau do polinômio. Para isso, divida o polinômio por (x-1). Nesse caso, você vai obter x^2-1

. Agora, obtendo as raízes de x^2-1=0

, nós teremos x'=1 e x''=-1.

Portanto, as raízes desse polinômio são x' = 1, x'' = 1, x'''= -1.

A forma fatorada do polinômio será:
x^3-x^2-x+1 = (x-1)(x-1)[x-(-1)] = (x-1)^2(x+1)

por **lucas7** » Ter Fev 22, 2011 16:28

Ok. Após horas queimando meus neurônios, consegui entender, parcialmente.

$\frac{a(3+x)-b(3+x)(x^2-1)}{(x^3-x^2-x+1)(3+x)}$ =

$\frac{(a-b)(3+x)(x^2-1)}{(x^3-x^2-x+1)(3+x)}$ =

Fatorando

por (x-1) para reduzir o grau do polinômio

$\frac{x^2(x-1)-1(x-1)}{(x-1)} \Leftrightarrow \frac{(x^2-1)(x-1)}{(x-1)} \Leftrightarrow x^2-1$

Bháskara de x^2-1

, achei as raízes 1 e -1, e já tenho a outra raíz 1 que usei para reduzir o grau do polinômio.

(x-1)(x-1)(x+1)

obs: teoricamente isso já seria suficiente para eu resolver a questão, pois $\frac{(a-b)(3+x)(x^2-1)}{(x-1)^2(x+1)(3+x)} \Leftrightarrow \frac{(a-b)(x+1)(x-1)}{(x-1)(x-1)(x+1)} \Leftrightarrow \frac{a-b}{x-1}$ (resposta do gabarito)

Porém, eu fiz o teste e multipliquei

, para ver se seria igual a x^3-x^2-x+1

e não dá.

$(x-1)(x-1)(x+1) \Leftrightarrow (x^2-x-x+1)(x+1) \Leftrightarrow x^3-x^2-x^2+x$ qual o meu erro? porque que essa multiplicação não está dando x^3-x^2-x+1

????

por **LuizAquino** » Ter Fev 22, 2011 16:56

lucas7 escreveu:Porém, eu fiz o teste e multipliquei (x-1)(x-1)(x+1), para ver se seria igual a e não dá.

$(x-1)(x-1)(x+1) \Leftrightarrow (x^2-x-x+1)(x+1) \Leftrightarrow x^3-x^2-x^2+x$ qual o meu erro? porque que essa multiplicação não está dando ????

Você esqueceu de aplicar a distributiva multiplicando o 1 por cada termo do fator x^2-x-x+1

. Você apenas aplicou a distributiva multiplicando cada termo do fator x^2-x-x+1

por x.

por **lucas7** » Ter Fev 22, 2011 17:00

Tem como você exemplificar fazendo (x-1)(x-1)(x+1)

passo a passo? Ao meu entendimento, que está errado, qualquer número multiplicado por 1 dá ele mesmo.

por **LuizAquino** » Ter Fev 22, 2011 17:03

lucas7 escreveu:Tem como você exemplificar? Ao meu entendimento, que está errado, qualquer número multiplicado por 1 dá ele mesmo.

Qual é o resultado de aplicar a distributiva em (a+b+c)(x+1)

?

Fazendo a distributiva:
(a+b+c)(x+1) = ax + a + bx + b + cx + c

por **lucas7** » Ter Fev 22, 2011 17:08

Entendi:

$(x^2-x-x+1)(x+1) \Leftrightarrow x.(x^2-x-x+1)+1(x^2-x-x+1) \Leftrightarrow x^3-x^2-x^2+x+x^2-x-x+1 \Leftrightarrow x^3-x^2-x+1$

É isso professor?

por **LuizAquino** » Ter Fev 22, 2011 17:17

lucas7 escreveu:Entendi:

$(x^2-x-x+1)(x+1) \Leftrightarrow x\cdot (x^2-x-x+1)+1\cdot (x^2-x-x+1) \Leftrightarrow x^3-x^2-x^2+x+x^2-x-x+1 \Leftrightarrow x^3-x^2-x+1$

É isso professor?

Sim.

por **lucas7** » Ter Fev 22, 2011 17:26

Refiz a questão desde o início e consegui graças aos novos conhecimentos que obtive com sua ajuda, muito obrigado

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