Maneira mais eficiente para multiplicacao de fracoes algeb.

por **lucas7** » Dom Fev 20, 2011 07:54

$\frac{x^2+2x-15}{x^2+5x-14}.\frac{x^2+6x-7}{x^2+x-20}.\frac{x^2-6x+8}{x^2-2x-3x}$

Fazendo a bhaskára dos 3 denominadores e 3 numeradores para encontrar suas raízes temos:

$\frac{(x-3)(x+5)}{(x+7)(x-2)}.\frac{(x-1)(x+7)}{(x-4)(x+5)}.\frac{(x-4)(x-2)}{(x-3)(x+1)}$

Pergunta: Existe alguma maneira mais fácil de resolver essa multiplicação em que não seja necessário fazer o calculo da bhaskara 6 vezes?

Abraços

por **LuizAquino** » Dom Fev 20, 2011 09:41

lucas7 escreveu: $\frac{x^2+2x-15}{x^2+5x-14}.\frac{x^2+6x-7}{x^2+x-20}.\frac{x^2-6x+8}{x^2-2x-3}$ $=\frac{(x-3)(x+5)}{(x+7)(x-2)}.\frac{(x-1)(x+7)}{(x-4)(x+5)}.\frac{(x-4)(x-2)}{(x-3)(x+1)}$

Pergunta: Existe alguma maneira mais fácil de resolver essa multiplicação em que não seja necessário fazer o calculo da bhaskara 6 vezes?

Não há muito o que fazer. A questão é trabalhosa.

No máximo, você poderia usar o conhecimento de que na equação x^2 -sx + p = 0

você está procurando dois valores x' e x'' de tal modo que:

A soma entre eles é s. Isto é: x'+x'' = s.
O produto entre eles é p. Isto é: x'x'' = p.

Se x' e x'' são números inteiros, às vezes é fácil fazer as contas de cabeça.

Vejamos um exemplo:
x^2-6x+8 = 0

Pense em dois números tais que a soma seja 6 e o produto seja 8.
Produto 1*8=8, mas a soma é 8+1=9. Não são esses números.
Produto 2*4=8 e a soma é 2+4=6. Opa! Aí estão os números procurados! As raízes da equação são x'=2 e x''=4.
Desse modo, a fatoração é:
x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)

Vejamos outro exemplo:
x^2+x-20 = 0

Pense em dois números tais que a soma seja -1 e o produto seja 20.
Produto (-1)*20=-20 ou 1*(-20)=-20, mas a soma é (-1)+20=19 e 1+(-20)=-19. Não são esses números.
Produto (-2)*10=-20 ou 2*(-10)=-20, mas a soma é (-2)+20=18 e 2+(-20)=-18. Não são esses números.
Produto (-4)*5=-20 ou 4*(-5)=-20 e a soma é (-4)+5=1 e 4+(-5)=-1. Opa! Aí estão os números procurados! As raízes da equação são x'=4 e x''=-5.
Desse modo, a fatoração é:
x^2+x-20 = (x-4)[x-(-5)] = (x-4)(x+5)

Observações

Note que a técnica aplica-se a polinômios do 2º grau onde o coeficiente multiplicando seja 1. Ou seja, se tivermos algo como , primeiro temos que fazer a fatoração . A partir daí aplicar a técnica, encontrando x'=1 e x''=2. Nesse caso, a fatoração final é igual a .
Fica mais difícil aplicar a técnica se as raízes são fracionárias, irracionais ou complexas. Por isso, é preciso estar atento. Se você perceber que está perdendo tempo demais com a técnica, então faça logo pela fórmula de Bhaskara.

por **lucas7** » Seg Fev 21, 2011 15:22

Gostei muito dessa técnica, obrigado! :y:

por **lucas7** » Seg Fev 21, 2011 15:35

Mas restou uma pequena dúvida:

x^2+5x-14

Raízes = {-2,7}

(x+2)(x-7)

=

, o certo seria (x-2)(x+7)

... Eu não devo mudar o sinal na hora de passar as raízes para a formula a(x-r1)(x-r2) ???

Qual o meu erro? Obrigado.

por **LuizAquino** » Seg Fev 21, 2011 16:04

lucas7 escreveu:Mas restou uma pequena dúvida:

(-2).7=-14
-2+7=5

Raízes = {-2,7}

Errado!

A soma das raízes deve ser -5 e o produto deve ser igual a -14. (Leia novamente a técnica descrita com atenção!)
Resposta correta:
2*(-7) = -14
2 + (-7) = -5.

Raízes: {2, -7}
Portanto: x^2+5x-14 = (x-2)[x-(-7)] = (x-2)(x+7)

por **lucas7** » Seg Fev 21, 2011 16:15

Então, pelo que entendi, temos que encontrar o valor de sx multiplicado por -1?

Exemplos:
x^2-sx+p

encontrar x'+x''=-6(sx=6, mas o valor que temos que encontrar seria 6(-1)=-6), x'.x''=-7
x'+x''=-6, -7+1=-6
x'.x''=-7, -7.1=-7

Raízes=(-7,1)

x^2-2x-3

encontrar x'+x'=2, x'.x''=-3. Certo?
x'+x''=2,
x'.x''=-3,

Raízes=(-1,+3)

por **LuizAquino** » Seg Fev 21, 2011 16:32

lucas7 escreveu:Então, pelo que entendi, temos que encontrar o valor de s multiplicado por -1?

Sim. Como foi dito na minha primeira resposta, se temos a equação x^2 -sx + p = 0

, nós estamos procurando dois valores x' e x'' de tal modo que:

A soma entre eles é s. Isto é: x'+x'' = s.
O produto entre eles é p. Isto é: x'x'' = p.

Como você mesmo exemplificou, na equação x^2+6x-7=0

estamos procurando dois valores x' e x'' de modo que x'+x''=-6 e x'x''=-7.

por **lucas7** » Seg Fev 21, 2011 16:38

Essa equação vai facilitar a minha vida e de todos que aprenderem através deste tópico em muitas ocasiões futuras. Luiz Aquino, muito obrigado! :party: