Derivada

por **john** » Seg Fev 14, 2011 16:13

g(x)= (2+x)*e^x

Mostre que g'(x)=(3+x)e^x

Comecei a fazer pela regra do produto.

g'(x)= (2+x)' * e^x + (2+x) * (e^x)'

g'(x)= 1*e^x + (2+x) * 1* (e^x)

g'(x)= e^x + (2+x) * (e^x)

Mas não consigo provar o que é pedido.
Alguém ajuda? Obrigado.

por **LuizAquino** » Seg Fev 14, 2011 22:58

john escreveu:Mas não consigo provar o que é pedido.

Você praticamente já terminou a questão!

Você parou em:
g'(x)= e^x + (2+x) * (e^x)

Mas, isso é o mesmo que:
g'(x)= e^x + 2e^x + xe^x

De onde temos que:
g'(x)= 3e^x + xe^x

Mas, isso é o mesmo que:
g'(x)= (3+x)e^x

Observação
Parece que você não está muito afiado com os conteúdos mais fundamentais de Matemática. Para fazer uma revisão desses conteúdos, indico para você o Canal do Nerckie no YouTube:
http://www.youtube.com/nerckie

por **john** » Ter Fev 15, 2011 12:41

Sim, luiz tem razão. Não estou muito afiado com os conteúdos fundamentais de Matemática. Obrigado pela recomendação.
Estava treinando outro exercício do género.
Provar que f(x)= ln $\frac{x}{4+2x}$ = f'(x)= $\frac{4}{x(4+2x)}$
Fiz a derivada pela regra da divisão e obtive:

$\frac{4}{(4+2x)^2}$

Agora seguindo a derivada do logaritmo fiquei com $\frac{4}{(4+2x)^2}$ / $\frac{x}{4+2x}$

E depois também diz:
Prove que f''(x)= $\frac{-16-16x}{{x}^{2}(4+2x)^2}$

Fazendo a derivada fiquei com:

$\frac{-16-16x}{(4x+2x^2)^2}$

Sei que tenho so exercícios praticamente certos. Só não sei fazer a simplificação final.

Obrigado pela atenção!

por **LuizAquino** » Ter Fev 15, 2011 14:51

Exercício: $f(x) = \ln \frac{x}{4+2x}$ , calcule f'.

Usando regra da cadeia:
$f^\prime (x) = \frac{1}{\frac{x}{4+2x}}\cdot \left(\frac{x}{4+2x}\right)^\prime$

Usando a regra do quociente:
$f^\prime (x) = \frac{4+2x}{x}\cdot \frac{x^\prime (4+2x) - x(4+2x)^\prime}{(4+2x)^2}$

$f^\prime (x) = \frac{4+2x}{x}\cdot \frac{4}{(4+2x)^2}$

Simplificando os termos (4+2x) e (4+2x)²:

$f^\prime (x) = \frac{1}{x}\cdot \frac{4}{4+2x}$

$f^\prime (x) = \frac{4}{x(4+2x)}$

john escreveu:Sim, luiz tem razão. Não estou muito afiado com os conteúdos fundamentais de Matemática. Obrigado pela recomendação.

Tenha certeza que se você investir um tempo para assistir aos vídeos e revisar o conteúdo provavelmente não vai mais errar esse tipo de questão.

por **john** » Ter Fev 15, 2011 15:01

Obrigado Luiz. Nem sequer conhecia essa regra da cadeia. Vou pesquisar sobre ela.

por **john** » Sáb Fev 19, 2011 23:00

Estou tentando esta:

Provar que $g(x)= ln(\frac{x-2}{x-3}) = g'(x) =\frac{-1}{(x^2-5x+6)}$

Eu fiz:

$\frac{\frac{1}{x-2}}{x-3}$ = $(\frac{x-2}{x-3})$ '

$(\frac{x-3}{x-2})$ $\frac{1.x-3-x-2.1}{(x-3)^2}$

$(\frac{x-3}{x-2})$ $\frac{x-3-x-2}{(x-3)^2}$

Depois simplifiquei. Cortei (x-3)

com

Fiquei com:

$\frac{1}{x-2}$ $\frac{-1}{x-3}$

Multipliquei e fiquei com:

$\frac{-1}{x^2-3x-2x+6}$

$\frac{-1}{x^2-5x+6}$

Está correcto? Fiz bem as regras?
Obrigado.

por **LuizAquino** » Sáb Fev 19, 2011 23:23

john escreveu:Provar que se $g(x)= ln(\frac{x-2}{x-3})$ , então $g^\prime(x) =\frac{-1}{(x^2-5x+6)}$

john escreveu:Está correcto? Fiz bem as regras?

Correto está, mas você deve tomar cuidado com a escrita, isto é, com a notação usada. Veja como seria a notação correta:

$g^\prime(x) = \frac{1}{\frac{x-2}{x-3}}\left(\frac{x-2}{x-3}\right)^\prime$

$g^\prime (x) = \frac{x-3}{x-2} \left[\frac{1\cdot(x-3)-(x-2)\cdot 1}{(x-3)^2}\right]$

$g^\prime (x) = \frac{x-3}{x-2} \left[\frac{-1}{(x-3)^2}\right]$

$g^\prime (x) = \frac{-1}{(x-2)(x-3)}$

$g^\prime (x) = \frac{-1}{x^2-5x+6}$

Uma escrita errada gera um resultado diferente do esperado. Por exemplo, você escreveu:

john escreveu: $(\frac{x-3}{x-2}) \frac{1.x-3-x-2.1}{(x-3)^2}$

Do jeito que isso está escrito nós temos $\left(\frac{x-3}{x-2}\right) \frac{-5}{(x-3)^2}$ e não $\left(\frac{x-3}{x-2}\right) \frac{-1}{(x-3)^2}$ como era esperado.

Note que o uso dos parênteses faz toda a diferença na expressão $\frac{1\cdot(x-3)-(x-2)\cdot 1}{(x-3)^2}$ .

por **john** » Dom Fev 20, 2011 00:01

Pois, tem toda a razão. Já num outro dia troquei valores por não colocar parênteses.

Agora tentando outro não consegui.

Provar que g''(x) da mesma função anterior é igual a $\frac{2x-5}{(x-2)^2(x-3)^2}$

Eu estive fazendo e fiz isto:

g'(x)= ((-1)'.(x^2-5x+6))-((-1)(x^2-5x+6))/((x^2-5x+6)^2)

g'(x)= 0 - ((-1)*2x-5)/((x^2-5x+6)^2)

g'(x)= (2x-5)/((x^2-5x+6)^2)

Não consigo progredir mais. Pode-me ajudar?

Obrigado!

por **LuizAquino** » Dom Fev 20, 2011 00:10

john escreveu:g'(x)= (2x-5)/((x^2-5x+6)^2)

Não consigo progredir mais. Pode-me ajudar?

A questão está praticamente pronta! Lembra-se que (x-2)(x-3) = x^2-5x+6

? Basta lembrar disso e você termina a questão.

por **john** » Dom Fev 20, 2011 00:13

LuizAquino escreveu:
john escreveu:g'(x)= (2x-5)/((x^2-5x+6)^2)

Não consigo progredir mais. Pode-me ajudar?

A questão está praticamente pronta! Lembra-se que ? Basta lembrar disso e você termina a questão.

Verdade. Obrigado.

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