Sobre transformações Lineares

por **Dethe** » Sex Jan 21, 2011 15:47

acabei por ler sobre tnasformações lineares nesse forum..Muito legal!
Mas preciso de uma ajuda para entender melhor este conteudo. E quando for para descobrir a lei de definição for matirzes como neste exemplo?

T: ${M}_{2x2}(R)\rightarrow{R}_{3}$

tal que T $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ = (2,0,5) , T $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ =(0,-1,3), T $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ =(3,0,0) e T $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ =(1,0,-2)

Aguardo ajuda e obrigada!

Como faço para calcular a lei de definição de T, nesse caso?

por **LuizAquino** » Sex Jan 21, 2011 16:51

Olá Dethe,

O processo é sempre o mesmo.

Primeiro, temos que nos certificar que o conjunto $\left\{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix},\,\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix},\,\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},\,\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\right\}$ forma uma base para o domínio da transformação linear, nesse caso, ${M}_{2x2}(R)$ . É o caso desse exercício.

Agora, vamos escrever qualquer elemento do domínio em função da base dada, isto é, resolver a equação (nas incógnitas k, m, p e r):
$k\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + m\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + p\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}+ r\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$

Essa equação é equivalente ao sistema:
$\begin{cases} k + m + p + r = a_{11} \\ m + p + r = a_{12} \\ p + r = a_{21} \\ r = a_{22} \\ \end{cases}$

A solução desse sistema é $k=a_{11}-a_{12}$ , $m=a_{12}-a_{21}$ , $p=a_{21}-a_{22}$ e $r=a_{22}$ .

Agora, aplicando a transformação linear:
$T\left(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\right)$ $=T\left((a_{11}-a_{12})\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + (a_{12}-a_{21})\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + (a_{21}-a_{22})\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}+ a_{22}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\right)$

$=(a_{11}-a_{12})T\left(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\right) + (a_{12}-a_{21})T\left(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\right) + (a_{21}-a_{22})T\left(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\right)+ a_{22}T\left(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\right)$

$=(a_{11}-a_{12})(2,\,0,\,5) + (a_{12}-a_{21})(0,\,-1,\,3) + (a_{21}-a_{22})(3,\,0,\,0)+ a_{22}(1,\,0,\,-2)$

$=(2a_{11}-2a_{12}+3a_{21}-2a_{22},\, -a_{12}+a_{21},\, 5a_{11}-2a_{12}-3a_{21}-2a_{22})$

Portanto, temos que:
$T\left(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\right)$ $=(2a_{11}-2a_{12}+3a_{21}-2a_{22},\, -a_{12}+a_{21},\, 5a_{11}-2a_{12}-3a_{21}-2a_{22})$

Para conferir sua resposta, basta calcular $T\left(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\right)$ , $T \left(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\right)$ , $T \left(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \right)\end{bmatrix}\right)$ e $T \left(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \right)\end{bmatrix}\right)$ . Faça os cálculos e você verá que está tudo certo conforme os dados do exercício.

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