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Sobre transformações Lineares

Sobre transformações Lineares

Mensagempor Dethe » Sex Jan 21, 2011 15:47

acabei por ler sobre tnasformações lineares nesse forum..Muito legal!
Mas preciso de uma ajuda para entender melhor este conteudo. E quando for para descobrir a lei de definição for matirzes como neste exemplo?

T:{M}_{2x2}(R)\rightarrow{R}_{3}

tal que T\begin{pmatrix}
   1 & 0  \\ 
   0 & 0 
\end{pmatrix}= (2,0,5) , T \begin{pmatrix}
   1 & 1  \\ 
   0 & 0 
\end{pmatrix}=(0,-1,3), T \begin{pmatrix}
   1 & 1  \\ 
   1 & 0 
\end{pmatrix}=(3,0,0) e T \begin{pmatrix}
   1 & 1  \\ 
   1 & 1 
\end{pmatrix}=(1,0,-2)


Aguardo ajuda e obrigada!

Como faço para calcular a lei de definição de T, nesse caso?
Dethe
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Re: Sobre transformações Lineares

Mensagempor LuizAquino » Sex Jan 21, 2011 16:51

Olá Dethe,

O processo é sempre o mesmo.

Primeiro, temos que nos certificar que o conjunto \left\{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix},\,\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix},\,\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},\,\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\right\} forma uma base para o domínio da transformação linear, nesse caso, {M}_{2x2}(R). É o caso desse exercício.

Agora, vamos escrever qualquer elemento do domínio em função da base dada, isto é, resolver a equação (nas incógnitas k, m, p e r):
k\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + m\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + p\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}+ r\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}

Essa equação é equivalente ao sistema:
\begin{cases}
k + m + p + r = a_{11} \\
m + p + r = a_{12} \\
p + r = a_{21} \\
r = a_{22} \\
\end{cases}


A solução desse sistema é k=a_{11}-a_{12}, m=a_{12}-a_{21}, p=a_{21}-a_{22} e r=a_{22}.

Agora, aplicando a transformação linear:
T\left(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\right)=T\left((a_{11}-a_{12})\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + (a_{12}-a_{21})\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + (a_{21}-a_{22})\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}+ a_{22}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\right)

=(a_{11}-a_{12})T\left(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\right) + (a_{12}-a_{21})T\left(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\right) + (a_{21}-a_{22})T\left(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\right)+ a_{22}T\left(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\right)

=(a_{11}-a_{12})(2,\,0,\,5) + (a_{12}-a_{21})(0,\,-1,\,3) + (a_{21}-a_{22})(3,\,0,\,0)+ a_{22}(1,\,0,\,-2)

=(2a_{11}-2a_{12}+3a_{21}-2a_{22},\, -a_{12}+a_{21},\, 5a_{11}-2a_{12}-3a_{21}-2a_{22})

Portanto, temos que:
T\left(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\right) =(2a_{11}-2a_{12}+3a_{21}-2a_{22},\, -a_{12}+a_{21},\, 5a_{11}-2a_{12}-3a_{21}-2a_{22})

Para conferir sua resposta, basta calcular T\left(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\right), T \left(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\right), T \left(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \right)\end{bmatrix}\right) e T \left(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \right)\end{bmatrix}\right). Faça os cálculos e você verá que está tudo certo conforme os dados do exercício.
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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Thassya - Sáb Out 01, 2011 16:20

1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

3) A função f, do primeiro grau, é definida pos f(x)= 3x + k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é?


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Neperiano - Sáb Out 01, 2011 19:46

Ola

Qual as suas dúvidas?

O que você não está conseguindo fazer?

Nos mostre para podermos ajudar

Atenciosamente


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: joaofonseca - Sáb Out 01, 2011 20:15

1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59