Interseção de Conjuntos

por **nietzsche** » Dom Jan 16, 2011 16:10

Boa tarde.

Seja Gn = {x é real: -1/n < x < 1+1/n } , onde n é natural.
A interseção dos conjuntos Gn é o conjunto F = {x é real: 0<= x <= 1}.

Se x pertence a interseção dos Gn, então ele pertence a todos Gn, para todo n. Mas como explicar que o 0 e o 1 sãos as cotas que limitam o intervalo de F?

Agradeço desde já.

por **nietzsche** » Sex Jun 24, 2011 22:33

nietzsche escreveu:Boa tarde.

Seja Gn = {x é real: -1/n < x < 1+1/n } , onde n é natural.
A interseção dos conjuntos Gn é o conjunto F = {x é real: 0<= x <= 1}.

Se x pertence a interseção dos Gn, então ele pertence a todos Gn, para todo n. Mas como explicar que o 0 e o 1 sãos as cotas que limitam o intervalo de F?

Agradeço desde já.

por **MarceloFantini** » Sáb Jun 25, 2011 01:33

Bom, temos que $G_n = \left\{ x \in \mathbb{R}: \, - \frac{1}{n} < x < 1 + \frac{1}{n} \right\}$ . O que nós queremos é determinar F tal que $F = \bigcap_{n=1}^{\infty} G_n$ . Eu pensei assim: se você tomar o limite dos dois lados da desigualdade, com $n \to \infty$ , veja que o único conjunto que pertence a todos é realmente 0 < x < 1

, pois $n \to \infty \Rightarrow \frac{1}{n} \to 0$ . Isto é mais uma idéia intuitiva, não considero isso como um argumento rigoroso.

por **nietzsche** » Sáb Jun 25, 2011 11:09

olá marcelo fantini,
eu pensei nisso que vc disse. mas minha dúvida é porque depois do limite o intervalo em que x está fica fechado: 0<= x <= 1?
esse exemplo é do livro 'elements of real analysis', do autor bartle, ou seja, é verdade que x pertence a [0,1]. por que não somente ]0,1[ ?
toda idéia é bem-vinda.

abraço.

por **MarceloFantini** » Sáb Jun 25, 2011 11:15

Não sei se há razão específica, afinal de contas $]0,1[ \subset [0,1]$ . Talvez para ficar mais elegante.

por **nietzsche** » Sáb Jun 25, 2011 13:44

creio que não seja pra ficar mais elegante. se trabalharmos com derivadas, por exemplo, nesse intervalo, os extremos serão muito importantes. então vcai importar se estamos num intervalo aberto ou fechado.

vale a pena estudar para descobrir a resposta. carrego essa dúvida desde o primeiro semestre e ainda não sei como resolvê-la. não sei se é óbvia a resposta, considerando a teoria de conjuntos, mas ainda não vi a resposta dessa questão.

por **nietzsche** » Sáb Jun 25, 2011 13:46

pensei em algo agora: talvez saia por indução. depois vou tentar fazer.

por **MarceloFantini** » Dom Jun 26, 2011 01:07

Em termos de derivada basta o intervalo ser aberto, não?

por **nietzsche** » Dom Jun 26, 2011 01:18

o que quis dizer é que a se união de infinitos conjuntos Gn, for um conjunto aberto e vc fechar e for tentar resolver um problema de equações diferenciais (por exemplo o problema de sturm-liouville, onde os extremos do intervalo são importante), vc está resolvendo um outro problema. e se a função não tá definida, se os limites laterais não existirem? vai surgir problemas. por isso que falei que "acochambrar" um intervalo (a,b) para um [a,b] não á algo trivial se estamos lidando com derivadas.

por **MarceloFantini** » Dom Jun 26, 2011 01:21

Porque não pergunta a algum de seus professores?

por **nietzsche** » Dom Jun 26, 2011 20:30

por que todos do fórum não perguntam a seus professores???? assim não precisaria dum fórum.

por **MarceloFantini** » Dom Jun 26, 2011 20:38

Assim como fiz no outro post, quero deixar claro que não tenho intenção de te ofender, portanto peço desculpas se o comentário que fiz soou ofensivo. Fiz o questionamento pois parece-me que é uma dúvida que permanece a muito tempo (desde o primeiro semestre da graduação, segundo você) e que portanto parece razoável que se no fórum não surgiram respostas, seria natural perguntar a alguém na faculdade sobre um esclarecimento na questão.

Por curiosidade, qual semestre da gradução você está? Abraços.

por **nietzsche** » Dom Jun 26, 2011 21:26

estou no penúltimo semestre, tirando os atrasos. essa dúvida surgiu quando li o livro do bartle, depois de já ter feito um primeiro curso de análise. mas como não precisei resolver, não fui atrás. geralmente essa parte de teoria de conjuntos, é dado com maior enfoque em outras discplinas mais avançadas, visto que é bem confuso falar de uma sequência de conjuntos, intervalos, etc, sem termos uma noção básica de topologia da reta, limites, entre outros assuntos. queria ver até onde minha dúvida vai, até que ponto eu precisaria aprender matemática para resolve-la de forma completa, por isso não quis procurar um professor. é bom rever coisas passadas, com uma nova visão.

tinha soado meu agressivo, mas vi que não foi nada de mais. estamos aqui pra aprender, discutir, descobrir coisas, então é bom deixar de lado qualquer tipo de agressão.

um abraço