conceito de integral e limite

por **OtavioBonassi** » Sex Jan 07, 2011 15:52

Galera, tenho a seguinte integral :

$f(x)=\int_{0}^{x^2} cos(t^2)dt$

Eu joguei ela no wolfram e me saiu o resultado ,mas nao tinha nenhum step disponível ,pelo que me lembro deu x^2 cos (t^2)

, alguem sabe como chegou nesse resultado ? E se possível explicar o conceito ou a tecnica empregada ?

Agora tem um de limite que também deve ser problema conceitual , o limite é esse :

$\lim_{x\to+\infty}(\frac{x+4}{x+2})^x$

Eu apliquei Logaritmo e tals , depois apliquei l' hopital porque havia uma indeterminação ,mas rodei rodei rodei e nao sai do lugar ,é esse o caminho certo mesmo ?

por **OtavioBonassi** » Dom Jan 09, 2011 11:49

Consegui resolver o limite, agora só falta a integral que eu nao consegui captar mesmo

por **Renato_RJ** » Dom Jan 09, 2011 13:18

EDITADO: Editei o meu post pois havia um erro técnico, para não induzir outros usuários ao mesmo erro resolvi apagar minhas contas...

Abs,
Renato

por **OtavioBonassi** » Dom Jan 09, 2011 14:16

Mas Renato, voce pode considerar o t como sendo um numero constante e tira-lo pra fora da integral ?

Porque u = t^2

logo t = raiz quadrada de u , então fica :

$\frac{1}{2}\int_{0}^{x^2}\frac{cosu}{\sqrt[2]{u}} du$

Não ? Ou alguma coisa do gênero ...

por **Renato_RJ** » Dom Jan 09, 2011 14:21

Grande Otávio...

Seguinte, se a tua variável de integração é u, então t não é integrável, certo ? Logo, pode passar para fora da integral (até onde eu saiba.. rss..). E eu usei substituição simples, que acaba por mudar a variável de integração, repare no meu último post...

por **MarceloFantini** » Dom Jan 09, 2011 16:11

Onde você conseguiu essa integral? Se não me engano, ela não pode ser resolvida pelos quatro métodos usuais que aprendemos em Cálculo 1 (substituição simples, frações parciais, substituição trigonométrica e integração por partes).

por **Renato_RJ** » Dom Jan 09, 2011 16:17

Fantini escreveu:Onde você conseguiu essa integral? Se não me engano, ela não pode ser resolvida pelos quatro métodos usuais que aprendemos em Cálculo 1 (substituição simples, frações parciais, substituição trigonométrica e integração por partes).

Sabia que eu tinha errado em algo.. rss...

Fantini, porque eu não posso usar a substituição simples neste caso ? Tem relação com os limites da integral ? Ainda estou "engatinhando" com o cálculo....

Grato,
Renato.

por **MarceloFantini** » Dom Jan 09, 2011 16:29

Para que você usasse substituição simples deveria haver um

multiplicando o $\cos t^2$ , não tem relação com os limites da integral. Quando usamos substituição, não podemos deixar nada da outra variável sobrando, tudo tem que já estar na integral (salvo números). E outra coisa: quando usamos substituição devemos mudar os limites de integração na integral definida.

por **Renato_RJ** » Dom Jan 09, 2011 16:33

Fantini escreveu:Para que você usasse substituição simples deveria haver um multiplicando o $\cos t^2$ , não tem relação com os limites da integral. Quando usamos substituição, não podemos deixar nada da outra variável sobrando, tudo tem que já estar na integral (salvo números). E outra coisa: quando usamos substituição devemos mudar os limites de integração na integral definida.

Opa, muito obrigado pela explicação (agora terei mais cuidado com a substituição), vou apagar os meus cálculos para não induzir um erro em quem ler o tópico...

Muito grato,
Renato.

por **OtavioBonassi** » Dom Jan 09, 2011 21:33

nao precisamos necessariamente mudar né ,podemos apenas "esconde-los" até que a integral seja resolvida e voltemos pra variável inicial ,certo ?

E outra pergunta ... Se por um acaso o exercicio pedir a derivada de f(x) ,e f(x) for uma integral definida ,eu nao posso simplismente cancelar a integral né ? hehe Ou seja , a derivada e a integral nao se anulam, ou se anulam ? Me lembro de ter visto isso no Teorema fundamental do calculo, mas nao lembro o conceito em si ,alguem sabe ?

por **MarceloFantini** » Dom Jan 09, 2011 22:34

Sim, mas aí vocÊ trata como uma integral indefinida e depois coloca na variável original e evalua nos limites normais.

E sim, o teorema fundamental do cálculo diz que a derivada é a operação inversa da integral. Então, se você derivar uma função, resolve assim:

$\frac{d}{dx} \int_a^{g(x)} f(x) \, dx = f(g(x)) \cdot g'(x)$