Área em Elipses

por **victoreis1** » Qui Nov 18, 2010 15:36

Duas elipses as quais possuem o mesmo centro, ambas de raio menor igual a 1 cm e raio maior igual a 2 cm, estão dispostas de tal modo que o raio maior de uma forme 90º com o raio maior da outra, conforme a figura:

Imagem

Determine o valor da área da região interna às duas elipses. (que parece um quadrado deformado)

Eu sei que a área de uma elipse é igual a $\pi a b$ , mas não estou conseguindo desenvolver um método para calcular tal área..

alguém tem alguma ideia?

por **alexandre32100** » Qui Nov 18, 2010 17:04

Victor, usa o sistema de upload de imagem do site, não to conseguindo visualizar a imagem.
Valeu, espero poder te ajudar.

por **victoreis1** » Qui Nov 18, 2010 17:39

alexandre32100 escreveu:Victor, usa o sistema de upload de imagem do site, não to conseguindo visualizar a imagem.
Valeu, espero poder te ajudar.

tava dando erro mesmo.. ajeitei, vê se tá pegando..

por **MarceloFantini** » Qui Nov 18, 2010 19:20

Talvez usando integral dupla saia, porém deve ter um outro método de resolução. Vou pensar mais.

por **victoreis1** » Qui Nov 18, 2010 20:11

to com uma ideia massa, só preciso de uma ajudinha na integral (sou do 1º ano ainda). me corrijam se eu estiver errado

os pontos de intersecção das elipses, considerando a origem (0,0) como sendo o centro das duas, serão $(\pm \sqrt \frac {4}{5} , \pm \sqrt \frac {4}{5})$ , facilmente notável igualando as equações das duas.

Logo a área do quadrado formado por essas intersecções é de $\frac {16}{5}$ .

Preciso de que me ajudem a calcular o valor de $\int\limits_{-\sqrt\frac{4}{5}}^{\sqrt\frac{4}{5}} \frac{\sqrt{4 - x^2}}{2}$ pra poder prosseguir..

EDIT: calculando a integral usando wolfram alpha, concluí o problema achando que a área = $8 tan^{-1}{(\frac{1}{2})}$

aproximadamente igual a 3,709 cm²

ainda assim, queria que vcs me dissessem como calculo aquela integral.. estou curioso

por **MarceloFantini** » Qui Nov 18, 2010 20:39

Acredito que o método seja por integral dupla, que no caso teria que dividir em mais de uma região. Ficaria meio chato mas "resolvível".

por **victoreis1** » Qui Nov 18, 2010 20:44

Fantini escreveu:Acredito que o método seja por integral dupla, que no caso teria que dividir em mais de uma região. Ficaria meio chato mas "resolvível".

pode ser, mas desse meu jeito não precisei de integrais duplas, só de uma integral "simples".. e tenho quase certeza de que está certo. além de que com integrais duplas levaria muito mais tempo

e como faço pra saber a função cuja derivada é $\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$ ?

por **MarceloFantini** » Qui Nov 18, 2010 21:16

Substituição trigonométrica. Monte um triângulo auxiliar e posicione de acordo, e aí vá encontrando os primeiros em função dos outros. É muito trabalho, talvez seja tão trabalhoso quanto integral dupla.