[ANALISE COMBINATORIA] CMBH 2009

por **GabrielMoreira** » Dom Nov 11, 2012 00:15

A questão diz o seguinte: No quadro final de madalhas olimpicas em Pequim, a Espanha ficou em 14º lugar com "n" medalhas de ouro. Dado que a quantidade de medalhas de prata é o dobro da quantidade de medalhas de ouro e o total de medalhas de bronze é antecessor impar de n e n é a terça parte do oposto do numero que apresenta a soma dos números inteiros da solução do sistema abaixo:
${2x}^{2} + 8x \leq 10 1 \leq 3 - 12x$

Podemos afirmar que no quadro final de medalhas a Espanha ficou com:

a) 5 medalhas de ouro, 10 de prata e 3 de bronze
b) 4 medalhas de ouro, 8 de prata e 3 de bronze
c) 7 medalhas de ouro, 14 de prata e 5 de bronze
d) 6 medalhas de ouro, 12 de prata e 5 de bronze
e) 3 medalhas de ouro, 6 de prata e 1 de bronze

Na resolução do sistema pede-se a soma dos numeros inteiros que representam a equação.
Usei o sistema 2x² + 8x - 10 = 0
+ 2 - 12x = 0
Obtive 2x² -4x - 8 = 0
a Soma das raízes é $\frac{-4}{2} = -2$
Como $n = \frac{-(-2)}{3} \rightarrow n = \frac{2}{3}$
Entao não haveria um antecessor impar.
RESPOSTA: Letra A

por **MarceloFantini** » Dom Nov 11, 2012 01:02

Da segunda equação temos $-2 \leq 12x$ e daí $x \geq \frac{1}{6}$ . Da primeira equação temos que dividindo tudo por dois segue que $x^2 +4x \leq 5$ . Somando 4 a cada lado temos $x^2 +4x +4 = (x+2)^2 \leq 9 = 3^2$ e portanto $|x+2| \leq 3$ , obtendo a seguinte desigualdade: $-3 \leq x+2 \leq 3$ e $-5 \leq x \leq 1$ .

Das duas equações obtemos $\frac{1}{6} \leq x \leq 1$ . A única solução inteira é x=1

, mas $1 = \frac{n}{3}$ , logo n=3

e a Espanha obteve 3 medalhas de ouro. Pelos dados do enunciado segue que ela teve 6 medalhas de prata e uma medalha de bronze.

Pela dedução acima, discordo do gabarito. Note que se um terço do número de madalhas de ouro é a soma das soluções inteiras da inequação, teremos uma divisão de inteiros cujo resultado é inteiro, isto só é possível se esta divisão for um. Se a resposta for como no gabarito, teríamos $\frac{5}{3}$ como a soma de inteiros, o que é impossível.

Editado: agora que li que

é a terça parte do "oposto" do número que representa a soma. O que ele quer dizer por "oposto"? Seria inverso multiplicativo? Se for, a resolução permanece. Agora, inverso aditivo também não está fazendo sentido, a menos que a soma das soluções inteiras fosse negativa, o que não está acontecendo. Penso um pouco mais amanhã.

por **DanielFerreira** » Dom Nov 11, 2012 13:12

$\\ \begin{cases} 2x^2 + 8x \leq 10 \\ 1 \leq 3 - 12x \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 + 4x - 5 \leq 0 \\ 12x \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x + 5)(x - 1) \leq 0 \\ x \leq \frac{1}{6} \end{cases} \\\\\\ \blacklozenge \,\, \textup{Eq. I} \,\, \boxed{- 5 \leq x \leq 1} \\\\ \blacklozenge \,\, \textup{Eq. II} \,\, \boxed{x \leq \frac{1}{6}} \\\\\\ \textup{I} \cap \textup{II} = \left \{ x \in \mathbb{Z} / - 5 \leq x \leq \frac{1}{6} \right \} \Rightarrow \textup{I} \cap \textup{II} = \left \{- 5, - 4, - 3, - 2, - 1 \right \}$

O valor de

é dado por:

$\\ n = \frac{1}{3} \cdot - (- 5 - 4 - 3 - 2 - 1) \\\\\\ n = \frac{1}{3} \cdot - (- 15) \\\\ \boxed{\boxed{n = 5}}$

O número total de medalhas de bronze, de acordo com o enunciado é:

$\\ \textup{bronze} = n - 2 \\\\ \textup{bronze} = 5 - 2 \\\\ \boxed{\boxed{\textup{bronze} = 3}}$

Medalhas de prata:

$\\ \textup{prata} = 2n \\\\ \boxed{\boxed{\textup{prata} = 10}}$