Prove: n(A X B) = n(A) * n(B)

por **juliomarcos** » Dom Set 14, 2008 02:58

Livro sem resposta é triste...
Se alguém puder falar se está certo pra mim, agradeço desde já.

Seja A X B, o produto cartesiano de A com B.
Prove que n(A X B) = n(A) * n(B):

A = {a1, a2, a3,..., an}
B = {b1, b2, b3,..., bn}
Adotando n(A) = n. E n(B) = m.
A X B = {(a,b) | a $\in$ A ^ b $\in$ B} = {(a1,b1), (a1,b2), (a1,b3),..., (a1,bn), (a2,b1), (a2,b2), (a2,b3),..., (a2,bn), (a3,b1), (a3,b2), (a3,b3),..., (a3,bn),...,(an,bn)}.
É facilmente verificado que existem m pares ordenados da forma (a1,bi), para cada a $\in$ A. Ou seja, têm-se m um determinado número n de vezes, logo n(A X B) = n(A) * n(B).

por **admin** » Ter Set 23, 2008 15:00

Olá juliomarcos!

Acredito que sua idéia esteja correta sim, mas esta "prova" não é tão comum pois trata-se de uma definição que por sua vez já é conseqüência direta de outra definição, o produto cartesiano.

Em alguns trechos você trocou m por n, mas acho que foi descuido na edição, compreendi a idéia.

Podemos também considerar, partindo da definição de produto cartesiano,
$A X B = \left\{(a,b) | a\in A \wedge b\in B\right\}$
uma tabela com os elementos dos conjuntos: os pares ordenados.
Estando um conjunto em linha e outro em coluna.
O número total de elementos será o produto dado pela dimensão da tabela.
É como pensar analogamente em área de retângulo.

Até mais!

por **juliomarcos** » Qua Set 24, 2008 00:59

Hmm. Interessante observação geométrica. Apresentar o produto cartesiano como uma tabela e utilizar "..." para representa-la em termos gerais é uma boa prova?
Muito Obrigado.

por **admin** » Qua Set 24, 2008 05:33

Ainda assim seria algo informal.
Teríamos que novamente utilizar conclusões famosas como "é facilmente verificado que..." ou ainda "é fácil ver que...".

Notei que a multiplicação cardinal aparece com freqüência como definição e não como teorema (também é interessante um estudo sobre a diferença destas terminologias).
Por exemplo, veja neste livro:

Axiomatic Set Theory By Patrick Suppes
http://books.google.com/books?id=sxr4LrgJGeAC&pg=PA115

Bons estudos!