[ Inequaçoes Quadráticas-Técnicas]

[R0nny]

Consideremos duas funçoes tais que: f(x)= 3x²+2x+3 e g(x)= 3x+2. Quais sao os valores tais que g(x)>f(x) e f(x)<g(x)? Existe alguma técnica para tal? eu tentei propor uma técnica, que é: como diz maior que.. entao x1>x>x2 e o outro x1<x<x2 ,nao sei se existe uma outra forma mais simples de achar os tais valores Alguma ideia?

[e8group]

Dadas a inequações e é interessante observar se ,ou seja , se .Neste caso podemos fatorar o polinômio como produtos de polinômios . O processo de resolver as inequações (*) (**) tornam simples após a fatoração .

Comente as dúvidas e tentativas .

[R0nny]

Eu procurei resolver as inequaçoes juntando-as, e quanto as chaveta vai depender do sina, se for maior ou igual ou vice versa será fechado e sem a barrinha por baixo será aberto, pois eles sempre começaram do menos infinito a mais infinito.

[e8group]

Poderia por favor mostrar suas tentativas para avaliarmos sua solução .

[R0nny]

Ok, é o seguinte: Supomos que a funçao f(x)= 2-x e g(x)= x²-4x+4 e dizem que querem, f(x)<g(x)... Entao o que eu estou dizendo é o seguinte eu pegar elas e junta-las, isto é,: 2-x<x²-4x+4----> -x²+4x-x-4+2----> -x²+3x-2>0, logo obteremos os zeros/raizes dessa equaçao: 1 e 2, sao os zeros, entao é so olhar para o sinal, como é >..... entao as chavetas serao abertas( sabendo que quando se trata de infinidade elas sempre sao abertas), logo teremos, ] - infinito, 1]U]2, + infinito[... se o sinal fosse de maior ou igual já seria diferente, as chavetas correspondentes aos zeros/raizes estariam fechadas... ] - infinito, 1]U[2, + infinito]... A minha dúvida vem será que existe outro método de resoluçao? Por exemplo, supomos que a funçao f(x)= 2x-6 e g(x)= -x²+2, e a condiçao que pedem é que: f(x)menor ou igual a g(x), como tambem g(x) maior ou igual a f(x)... Como resolveria-se com método falado por si? Chegando na resoluçao certa.

[e8group]

Ok, é o seguinte: Supomos que a funçao f(x)= 2-x e g(x)= x²-4x+4 e dizem que querem, f(x)<g(x)... Entao o que eu estou dizendo é o seguinte eu pegar elas e junta-las, isto é,: 2-x<x²-4x+4----> -x²+4x-x-4+2----> -x²+3x-2>0

i)

O que queres dizer está correto .Se tratando de polinômios ou até mesmo outras funções que não é um polinômio que tratando-se de desigualdades da forma (ou ) de costume adicionamos em ambos membros ,ficando com .Assim , de forma geral, se é conjunto solução da desigualdade implica que para todo em sempre a sentença " " é verdadeira .

logo obteremos os zeros/raizes dessa equaçao: 1 e 2, sao os zeros, entao é so olhar para o sinal, como é >..... entao as chavetas serao abertas( sabendo que quando se trata de infinidade elas sempre sao abertas), logo teremos, ] - infinito, 1]U]2, + infinito[... se o sinal fosse de maior ou igual já seria diferente, as chavetas correspondentes aos zeros/raizes estariam fechadas... ] - infinito, 1]U[2, + infinito].

ii)

Tratando-se de polinômios , você tem toda razão em encontrar a(s) raiz(es) de .Isto porque se é uma raiz do polinômio ,significa que este polinômio pode ser reescrito como em que é um polinômio de grau : e é uma constante .

Acredito que este site : http://pessoal.sercomtel.com.br/matemat ... olinom.htm fornecerá algumas informações importante p/ você .

Para exemplificar a nossa conversar . Imagine que temos que um polinômio ou função polinomial de grau : .Se peço para você desenvolver a inequação , da forma que a função está escrita ,digamos que é difícil resolver está desigualdade .Entretanto , se vc determinar as raízes desta função que é , simplesmente podemos reescrever a função em sua forma fatorada que é .Neste caso , para frisar a teoria proposta acima , observe que é um polinômio de grau : .De fato ,pela teoria , .Além disso , note que e .Este é um exemplo que justifica que .

Resumindo , após fatorar a função é fácil determinar a solução da desigualdade .Pois produtos de números são negativos ,sse , os números possuem sinais contrários entre-si (Veja alguns exemplos : 2(-3) < 0 , 5(-8) < 0 ... ,etc .Por outro lado , (2)(3) > 0 , (-2)(-3) > 0 , ..., etc . ) .

Conclusão : Desde que , tem-se necessariamente dois casos a considerar .

Caso 1 : e

Caso 2: e .

Deixo p/ vc tentar concluir ,fica como exercício .

OBS.:

logo teremos, ] ... - infinito, 1]U]2, + infinito[... se o sinal fosse de maior ou igual já seria diferente, as chavetas correspondentes aos zeros/raizes estariam fechadas... ] - infinito, 1]U[2, + infinito]...

Tome cuidado! Isto nem sempre ocorre . Veja o exemplo citado acima .

A minha dúvida vem será que existe outro método de resoluçao?

Particularmente,costumo trabalhar em desigualdades da forma que mencionei nos itens i) e ii) .

... Por exemplo, supomos que a funçao f(x)= 2x-6 e g(x)= -x²+2, e a condiçao que pedem é que: f(x)menor ou igual a g(x), como tambem g(x) maior ou igual a f(x)... Como resolveria-se com método falado por si? Chegando na resoluçao certa.

Que tal praticar a teoria mencionada no item ii) neste exemplo , o que acha ?

No mais ,se houver dúvidas post .

[R0nny]

Esta bem, contudo muito obrigado! A teoria montada por voce na minha regiao(Moçambique-África) nao é usada eu penso que da-se num nível superior aqui, mas gostei porque assim eu aprofundo mas, e irei amostrar ao meu Professor, para que nos explique, acho que será interessente tanto para ele como para mim. Mais uma vez obrigado, a Matemática é bela, pois existem várias formas de alcançar a soluçao.

[R0nny]

Ai Santiago a outra dúvida que estou tendo é sobre resoluçao de problema de uma inequaçao, estou debatendo com um amigo aqui do Forúm, mas nao estamos chegar a soluçao( soluçao: 1,1 s desde o inicio até ao fim). Veja só!

[e8group]

Não há de quê . A teoria que apresentei é generalizada para polinômios da forma .Onde : com .

No caso específico para polinômios de grau 2 que é da forma vou recomendar este site :

http://www.vestibulandia.com.br/ . Lá você encontrará aulas sobre tais técnicas que queres aprender, as aulas estão disponíveis no youtube.

Também recomendo uma breve leitura sobre Forma fatorada da equação quadrática , veja : http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7 ... .C3.A1tica