[ Inequaçoes Quadráticas-Técnicas]

por **R0nny** » Qua Mai 01, 2013 17:02

Consideremos duas funçoes tais que: f(x)= 3x²+2x+3 e g(x)= 3x+2. Quais sao os valores tais que g(x)>f(x) e f(x)<g(x)? Existe alguma técnica para tal? eu tentei propor uma técnica, que é: como diz maior que.. entao x1>x>x2 e o outro x1<x<x2

,nao sei se existe uma outra forma mais simples de achar os tais valores :oops:

Alguma ideia?

por **e8group** » Qua Mai 01, 2013 19:49

Dadas a inequações (*) f(x) > g(x)

e

é interessante observar se g(x) = f(x)

,ou seja , se g(x) - f(x) = 0

.Neste caso podemos fatorar o polinômio g(x) - f(x)

como produtos de polinômios . O processo de resolver as inequações (*) (**) tornam simples após a fatoração .

Comente as dúvidas e tentativas .

por **R0nny** » Sex Mai 03, 2013 15:01

Eu procurei resolver as inequaçoes juntando-as, e quanto as chaveta vai depender do sina, se for maior ou igual ou vice versa será fechado e sem a barrinha por baixo será aberto, pois eles sempre começaram do menos infinito a mais infinito.

por **e8group** » Sex Mai 03, 2013 15:16

Poderia por favor mostrar suas tentativas para avaliarmos sua solução .

por **R0nny** » Sex Mai 03, 2013 16:21

Ok, é o seguinte: Supomos que a funçao f(x)= 2-x e g(x)= x²-4x+4 e dizem que querem, f(x)<g(x)... Entao o que eu estou dizendo é o seguinte eu pegar elas e junta-las, isto é,: 2-x<x²-4x+4----> -x²+4x-x-4+2----> -x²+3x-2>0, logo obteremos os zeros/raizes dessa equaçao: 1 e 2, sao os zeros, entao é so olhar para o sinal, como é >..... entao as chavetas serao abertas( sabendo que quando se trata de infinidade elas sempre sao abertas), logo teremos, ] - infinito, 1]U]2, + infinito[... se o sinal fosse de maior ou igual já seria diferente, as chavetas correspondentes aos zeros/raizes estariam fechadas... ] - infinito, 1]U[2, + infinito]... A minha dúvida vem será que existe outro método de resoluçao? Por exemplo, supomos que a funçao f(x)= 2x-6 e g(x)= -x²+2, e a condiçao que pedem é que: f(x)menor ou igual a g(x), como tambem g(x) maior ou igual a f(x)... Como resolveria-se com método falado por si? Chegando na resoluçao certa.

por **e8group** » Sex Mai 03, 2013 18:34

R0nny escreveu:Ok, é o seguinte: Supomos que a funçao f(x)= 2-x e g(x)= x²-4x+4 e dizem que querem, f(x)<g(x)... Entao o que eu estou dizendo é o seguinte eu pegar elas e junta-las, isto é,: 2-x<x²-4x+4----> -x²+4x-x-4+2----> -x²+3x-2>0

i)

O que queres dizer está correto .Se tratando de polinômios ou até mesmo outras funções que não é um polinômio que tratando-se de desigualdades da forma f(x) > g(x)

(ou

) de costume adicionamos em ambos membros -g(x)

,ficando com f(x) + (- g(x) ) > g(x) + (-g(x) )

.Assim , de forma geral, se

é conjunto solução da desigualdade f(x) - g(x) > 0

implica que para todo

em

sempre a sentença " f(x) > g(x)

" é verdadeira .

R0nny escreveu: logo obteremos os zeros/raizes dessa equaçao: 1 e 2, sao os zeros, entao é so olhar para o sinal, como é >..... entao as chavetas serao abertas( sabendo que quando se trata de infinidade elas sempre sao abertas), logo teremos, ] - infinito, 1]U]2, + infinito[... se o sinal fosse de maior ou igual já seria diferente, as chavetas correspondentes aos zeros/raizes estariam fechadas... ] - infinito, 1]U[2, + infinito].

ii)

Tratando-se de polinômios , você tem toda razão em encontrar a(s) raiz(es) de f(x) - g(x)

.Isto porque se

é uma raiz do polinômio p(x) = f(x) - g(x)

,significa que este polinômio pode ser reescrito como (x-r)q(x)C

em que

é um polinômio de grau : gr(q) = gr(p) - 1

e $C \neq 0$ é uma constante .

Acredito que este site : http://pessoal.sercomtel.com.br/matemat ... olinom.htm fornecerá algumas informações importante p/ você .

Para exemplificar a nossa conversar . Imagine que temos p(x) = x^2 -10x +21

que um polinômio ou função polinomial de grau : gr(p) = 2

.Se peço para você desenvolver a inequação p(x) < 0

, da forma que a função está escrita ,digamos que é difícil resolver está desigualdade .Entretanto , se vc determinar as raízes desta função que é 3 , 7

, simplesmente podemos reescrever a função

em sua forma fatorada que é (x-3)(x-7)

.Neste caso , para frisar a teoria proposta acima , observe que (x-7) = q(x)

é um polinômio de grau : gr(q) = 1

.De fato ,pela teoria , gr(q) = gr(p) - 1 = 2 - 1 = 1

.Além disso , note que r = 3

e

.Este é um exemplo que justifica que p(x) = Cq(x)(x-r)

.

Resumindo , após fatorar a função

é fácil determinar a solução da desigualdade (x-3)(x-7) < 0

.Pois produtos de números são negativos ,sse , os números possuem sinais contrários entre-si (Veja alguns exemplos : 2(-3) < 0 , 5(-8) < 0 ... ,etc .Por outro lado , (2)(3) > 0 , (-2)(-3) > 0 , ..., etc . ) .

Conclusão : Desde que (x-3)(x-7) < 0

, tem-se necessariamente dois casos a considerar .

Caso 1 : (x-3) > 0

e

Caso 2:

e

.

Deixo p/ vc tentar concluir ,fica como exercício .

OBS.:

R0nny escreveu:logo teremos, ] ... - infinito, 1]U]2, + infinito[... se o sinal fosse de maior ou igual já seria diferente, as chavetas correspondentes aos zeros/raizes estariam fechadas... ] - infinito, 1]U[2, + infinito]...

Tome cuidado! Isto nem sempre ocorre . Veja o exemplo citado acima .

R0nny escreveu: A minha dúvida vem será que existe outro método de resoluçao?

Particularmente,costumo trabalhar em desigualdades da forma que mencionei nos itens i) e ii) .

R0nny escreveu:... Por exemplo, supomos que a funçao f(x)= 2x-6 e g(x)= -x²+2, e a condiçao que pedem é que: f(x)menor ou igual a g(x), como tambem g(x) maior ou igual a f(x)... Como resolveria-se com método falado por si? Chegando na resoluçao certa.

Que tal praticar a teoria mencionada no item ii) neste exemplo , o que acha ?

No mais ,se houver dúvidas post .

por **R0nny** » Sáb Mai 04, 2013 12:45

Esta bem, contudo muito obrigado! A teoria montada por voce na minha regiao(Moçambique-África) nao é usada eu penso que da-se num nível superior aqui, mas gostei porque assim eu aprofundo mas, e irei amostrar ao meu Professor, para que nos explique, acho que será interessente tanto para ele como para mim. Mais uma vez obrigado, a Matemática é bela, pois existem várias formas de alcançar a soluçao.

por **R0nny** » Sáb Mai 04, 2013 13:19

Ai Santiago a outra dúvida que estou tendo é sobre resoluçao de problema de uma inequaçao, estou debatendo com um amigo aqui do Forúm, mas nao estamos chegar a soluçao( soluçao: 1,1 s desde o inicio até ao fim). Veja só!

por **e8group** » Sáb Mai 04, 2013 13:30

Não há de quê . A teoria que apresentei é generalizada para polinômios da forma $p(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \hdots + a_n = \sum_{i=0}^n a_i x^{n-i}$ .Onde : $a_0, \hdots , a_n \in \mathbb{R}$ com $a_0 \neq 0$ .

No caso específico para polinômios de grau 2 que é da forma p(x) = ax^2 + bx + c

vou recomendar este site :

http://www.vestibulandia.com.br/ . Lá você encontrará aulas sobre tais técnicas que queres aprender, as aulas estão disponíveis no youtube.

Também recomendo uma breve leitura sobre Forma fatorada da equação quadrática , veja : http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7 ... .C3.A1tica