Equações do sistema

por **Lucio** » Sáb Out 20, 2012 09:52

Olá colegas

Os valores de m e k para que as equações do sistema

$\begin{pmatrix} x-2y=k^2 & \\ -6x+4y=m+k & \\ -\frac{2}{3} y=mk \end{pmatrix}$

representem uma única reta são, respectivamente:

a) ?(2/9) e ?(2/3).
b) ?(2/3) e 2/3.
c) ?(3/2) e ?(2/3).
d) (2/9) e (2/9).

1º - Tentei resolver por tentativa, mas foi muito trabalhoso e não cheguei ao resultado
2º - Coloquei esses valores no geogebra, só dá erro, isso é função inválida.

Desde já agradeço a ajuda de todos
Obrigado

por **e8group** » Sáb Out 20, 2012 12:08

Pense assim , através das três equações temos um ponto(A) de coordenada x e y pertecente a reta (r) .

$A = (x,y) , A \in r$ . Isolando o "y" em cada equação , por exemplo . Você tem o ponto A em função de x , m e k para todo x real . Para x = 0 por exemplo ,podemos estabelecer uma igualdade que implicará uma condição para m e k que satisfaça as três equações .

OBS .: Este sistema pode ser escrito em látex através do seguinte comando : \begin{cases} ; \end{cases} ao invés de begin{pmatrix} \end{pmatrix} .

por **Lucio** » Seg Out 22, 2012 00:26

Isolando o y e atribuindo zero para o x:

$x-2y=k^2 \rightarrow -2y=k^2-x\rightarrow 2y=-k^2+x\rightarrow y=\frac{-k^2}{ 2 }$

$-6x+4y=m+k\rightarrow 4y=m+k+6x\rightarrow4y=m+k\rightarrow y=\frac{m+k}{4}$

$-\frac{2}{3} y=mk \rightarrow y = -\frac{3}{2} mk$

Santhiago obrigado por de ajudar, mas infelizmente não consegui estabelecer uma igualdade que implica uma condição para m e k que satisfaça as três equações.
Poderia por favor me orientar mais um vez?
Obrigado

por **e8group** » Seg Out 22, 2012 12:07

Luicio , pensei assim :

Primeiro queremos uma condição em relação a k e m tal que as equações representam uma mesma reta . Como sabemos ,a equação da reta tem o formato y= ax +b

. Onde a é o coeficiente ângular da reta e b uma cosntante . Sendo assim , as três equações representaram uma reta quandos terem a mesma configuração .

Isolando y em cada equação , temos que :

$\frac{x-k^2}{2} = \frac{-3mk}{2} = \frac{m+k +6x}{4} = y$ .

Agora comparando os termos da igualdade , e igualando-os .

$\begin{cases} \frac{x}{2} = \frac{x}{4} \\ \frac{-k^2}{2}=\frac{-3mk}{2} =\frac{m+k}{4} \end{cases}$ . Daí, podemos estabelcer que ,

k = 3m

.

logo ,

$-\frac{-k^2}{2} = \frac{ \frac{k}{3} + k}{4}$ .

Resolvendo , encontrará :

$k = \frac{-2}{3}$

$m = \frac{-2}{9}$ .

Comente qualquer coisa .