[Equação quadrática]-UFLA-MG

por **JU201015** » Dom Nov 18, 2012 21:28

Uma bolinha de tênis, após se chocar com o solo, no ponto O, segue uma trajetória ao longo de quatro parábolas. A altura máxima atingida em cada uma das parábolas é 4/3 do valor da altura máxima da parábola anterior. Sabendo-se que as distâncias entre os pontos onde a bolinha toca o solo são iguais e que a equação da primeira parábola é y=-4x²+8x, a equação da quarta parábola é?
Bom, o Yv da primeira parábola, é 4 ou seja, a altura máxima atingida pela primeira parábola é 4. Se a altura da primeira é 4/3 da próxima, então a altura máxima da segunda será 3, da terceira 9/4 e da quarta 27/16.
Eles disseram que as distâncias entre os pontos onde a bolinha toca o solo são iguais. Se a primeira é 0, e a segunda é 2(as raízes da função), a terceira será 4, o quarto ponto 6 e o último 8.
Concluindo, eu sei que o Yv da terceira função será 27/16 e as raízes 6 e 8. Mas não consigo montar a equação da quarta parábola. Me ajudem?

por **e8group** » Seg Nov 19, 2012 11:58

JU201015 escreveu:ma bolinha de tênis, após se chocar com o solo, no ponto O, segue uma trajetória ao longo de quatro parábolas. A altura máxima atingida em cada uma das parábolas é 4/3 do valor da altura máxima da parábola anterior. Sabendo-se que as distâncias entre os pontos onde a bolinha toca o solo são iguais e que a equação da primeira parábola é y=-4x²+8x, a equação da quarta parábola é?

Vamos avaliar seu desenvolvimento :

JU201015 escreveu:Bom, o Yv da primeira parábola, é 4 ou seja, a altura máxima atingida pela primeira parábola é 4. Se a altura da primeira é 4/3 da próxima, então a altura máxima da segunda será 3, da terceira 9/4 e da quarta 27/16.

Levando em conta que em cada parábola , suas distâncias são proporcionais pela razão q = 4/3

, Por definição de P.G , a altura máx.da última parábola , será : [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 6 ] .

JU201015 escreveu:Eles disseram que as distâncias entre os pontos onde a bolinha toca o solo são iguais. Se a primeira é 0, e a segunda é 2(as raízes da função), a terceira será 4, o quarto ponto 6 e o último 8.

Correto .

JU201015 escreveu:Concluindo, eu sei que o Yv da terceira função será 27/16 e as raízes 6 e 8. Mas não consigo montar a
equação da quarta parábola. Me ajudem?

Por favor , leia novamente o texto . E veja a definição de P.G .

Ressaltando que a parábola pode ser escrita na forma fatorada : a(x-r_1)(x-r_2)

são raízes .

Não tempo + p/ dar atenção .Prometo mais tarde voltar aq , p/ concluir algumas observações .

por **JU201015** » Seg Nov 19, 2012 13:27

santhiago escreveu:
JU201015 escreveu:ma bolinha de tênis, após se chocar com o solo, no ponto O, segue uma trajetória ao longo de quatro parábolas. A altura máxima atingida em cada uma das parábolas é 4/3 do valor da altura máxima da parábola anterior. Sabendo-se que as distâncias entre os pontos onde a bolinha toca o solo são iguais e que a equação da primeira parábola é y=-4x²+8x, a equação da quarta parábola é?

Vamos avaliar seu desenvolvimento :

JU201015 escreveu:Bom, o Yv da primeira parábola, é 4 ou seja, a altura máxima atingida pela primeira parábola é 4. Se a altura da primeira é 4/3 da próxima, então a altura máxima da segunda será 3, da terceira 9/4 e da quarta 27/16.

Levando em conta que em cada parábola , suas distâncias são proporcionais pela razão , Por definição de P.G , a altura máx.da última parábola , será : [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 6 ] .

JU201015 escreveu:Eles disseram que as distâncias entre os pontos onde a bolinha toca o solo são iguais. Se a primeira é 0, e a segunda é 2(as raízes da função), a terceira será 4, o quarto ponto 6 e o último 8.

Correto .

JU201015 escreveu:Concluindo, eu sei que o Yv da terceira função será 27/16 e as raízes 6 e 8. Mas não consigo montar a
equação da quarta parábola. Me ajudem?

Por favor , leia novamente o texto . E veja a definição de P.G .

Ressaltando que a parábola pode ser escrita na forma fatorada : são raízes .

Não tempo + p/ dar atenção .Prometo mais tarde voltar aq , p/ concluir algumas observações .

Ok =D

por **e8group** » Seg Nov 19, 2012 20:01

JU201015 , boa tarde . hoje a caminho da faculdade , pensei nesta questão e há algumas observações a ser feita ,há uma possibilidade de erro na interpretação pela minha pessoa . Meu tempo etstar escasso mas gostaria de ajudar mis tarde , mas deixo a vontade os demais usuários do fórum ajudar .

por **e8group** » Seg Nov 19, 2012 21:40

Avaliei aqui . Seu raciocínio estar parcialmente certo .Vamos começa por aqui . Como vc disse , " Eles disseram que as distâncias entre os pontos onde a bolinha toca o solo são iguais. Se a primeira é 0, e a segunda é 2(as raízes da função), a terceira será 4, o quarto ponto 6 e o último 8 . "

Isto é , as raízes da quarta parábola são 6 , 8

.

Lembrando que podemos reescrever a equação na forma fatorada ,segue que :

p_4 : y= a (x-6)(x-8) = ax^2 - a14x + 48

.

Através do y_v

sabemos que por um lado $y_v = - \frac{\Delta}{4a} = \frac{4 \cdot 48 - (-14)^2 }{4a} = - \frac{1}{a}$ .

Entretanto , sabemos que o a altura máxima de cada parábola é 4/3 da anterior . Por P.G temos que ,

$y_v = \left(\frac{4}{3} \right )^3 \cdot 4 = \frac{-1}{a} \implies a = \frac{-27}{256}$ .

Assim, a quarta parabola será : $y = - \frac{27}{256}\left( x^2 - 14x + 48 \right)$ .

Se você tem recursos de ver isto geometricamente ,o geogebra é muito bom . Este exercício é interessante no ponto de vista físico a trajetória que a bola faz descrito ao longo das parábolas .

Comente qualquer coisa aí .

por **JU201015** » Ter Nov 20, 2012 11:13

santhiago escreveu:Avaliei aqui . Seu raciocínio estar parcialmente certo .Vamos começa por aqui . Como vc disse , " Eles disseram que as distâncias entre os pontos onde a bolinha toca o solo são iguais. Se a primeira é 0, e a segunda é 2(as raízes da função), a terceira será 4, o quarto ponto 6 e o último 8 . "

Isto é , as raízes da quarta parábola são .

Lembrando que podemos reescrever a equação na forma fatorada ,segue que :

.

Através do sabemos que por um lado $y_v = - \frac{\Delta}{4a} = \frac{4 \cdot 48 - (-14)^2 }{4a} = - \frac{1}{a}$ .

Entretanto , sabemos que o a altura máxima de cada parábola é 4/3 da anterior . Por P.G temos que ,

$y_v = \left(\frac{4}{3} \right )^3 \cdot 4 = \frac{-1}{a} \implies a = \frac{-27}{256}$ .

Assim, a quarta parabola será : $y = - \frac{27}{256}\left( x^2 - 14x + 48 \right)$ .

Se você tem recursos de ver isto geometricamente ,o geogebra é muito bom . Este exercício é interessante no ponto de vista físico a trajetória que a bola faz descrito ao longo das parábolas .

Comente qualquer coisa aí .

Obrigada por responder e, sorry por tomar seu tempo rsrs Mas se der, me tira umas dúvidas?
Como eu chego no gabarito que é -27/16(x-6)(x-8)? De acordo com o que eu tinha feito sobre a altura máxima de cada parábola, a altura da quarta seria 27/16. Como eu poderia encontrar "a" com a altura máxima, que é 27/16? Eu tentei igualar com Yv assim:
$\frac{27}{16}=\frac{-({b}^{2}-4ac)}{4a}$
Se substituíssemos os valores da equação ax^2 - a14x + 48

daria certo?

por **e8group** » Ter Nov 20, 2012 17:35

Altura da primeira parábola :

4 u.c

Altura da segunda parábola :

$4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3} u.c$

Altura da terceira parábola :

$\frac{16}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{64}{9} u.c$

Altura da quarta parábola :

$\frac{64}{9} \cdot \frac{4}{3} = \frac{256}{27} = \frac{4^4}{3^3}$ .

Perceba que todo esse processo é oriundo de : $a_n = \left(\frac{4}{3} \right)^{n-1} \cdot 4$ .

Agora calculando o y_v

por , $\frac{- \Delta}{4a} = \frac{- ((-14a)^2 - 4\cdot a \cdot 48a}{4a} = \frac{256}{27}$ .Calculando achará $a = \frac{256}{27}$ .

Desculpa , não estou conseguindo chegar no gabarito . Vou ficar te devendo esta ..

por **DanielFerreira** » Ter Nov 20, 2012 21:47

Santhiago,
há um lapso no enunciado da Ju. O primeiro e o segundo toque no chão formam a primeira parábola, e ela é a maior. Então a próxima parábola (segunda) não poderá ter a altura maior que a anterior, mas de acordo com o enunciado é $\frac{4}{3}$ .

$\\ \begin{cases} \textup{parabola I}: h_1 = k \Rightarrow \boxed{h_1 = 4} \\\\ \textup{parabola II}: h_2 = \frac{3k}{4} \Rightarrow \boxed{h_2 = 3} \\\\ \textup{parabola III}: h_3 = \frac{9k}{16} \Rightarrow \boxed{h_3 = \frac{9}{4}} \\\\ \textup{parabola IV}: h_4 = \frac{27k}{64} \Rightarrow \boxed{h_4 = \frac{27}{16}} \end{cases}$

A equação é dada por:
$\\ a(x - 6)(x - 8) = 0 \\ a(x^2 - 14x + 48) = 0 \\ ax^2 - 14ax + 48a$

Portanto,

$\\ - \frac{\Delta }{4a} = \frac{27}{16} \\\\\\ - \frac{\Delta }{a} = \frac{27}{4} \\\\ - 4\Delta = 27a \\\\ - 4(b^2 - 4ac) = 27a \\\\ - 4(196a^2 - 192a^2) = 27a \\\\ - 16a^2 = 27a \\\\ \boxed{a = - \frac{27}{16}}$

Daí,

$\\ \boxed{\boxed{- \frac{27}{16}(x - 8)(x - 6)}}$