Demonstração (número primo)

por **Shetach Hefker** » Qui Jan 10, 2013 19:01

Olá amigos, alguém poderia me ajudar a resolver a seguinte demonstração? "Prove que todo número primo maior que 2 é impar". Não encontrei qualquer referência sobre esta questão, motivo pelo qual qualquer ajuda será bem vinda. Obrigado

por **young_jedi** » Qui Jan 10, 2013 20:38

todos os numeros pares são divisiveis por dois, portanto não podem ser primos alem do proprio 2

por **Shetach Hefker** » Qui Jan 10, 2013 20:45

young_jedi escreveu:todos os numeros pares são divisiveis por dois, portanto não podem ser primos alem do proprio 2

Olá young, ocorre o seguinte: tal assertiva deverá ser demonstrada. Por exemplo: "se n é par, então n^2 também é par". Dai demonstra-se que um número par é da forma n=2k e que (2K)^2 é igual a 4k^2, que é igual a 2(2k^2). Fazendo 2k^2 = z, temos 2z, que também é par. Estes procedimentos deverão ser adotados também para a resolução do enunciado que fiz em relação aos números primos. Sua colocação é consistente, mas falta a prova. É neste sentido que gostaria de contar com a ajuda de vocês.

Complementando, sei que tal resposta é baseada na conclusão por absurdo. Também verifica-se, através dos estudos de Euler, que nem todo número ímpar maior que 2 é primo. Mas a demonstração disso, teoricamente falando, é algo difícil. Há muitas demonstrações relativas as questões envolvendo números primos, mas com relação a este que fiz acima não encontrei uma demonstração.

Este exercício encontra-se na página 9, número 1, do livro "Análise Matemática - Geraldo Ávila" (tenho em pdf se precisar). A resposta do livro é bem evasiva: "Propomos aqui uma propriedade muito simples dos números primos. Nâo obstante isso, ela precisa ser demonstrada; e a demonstração pode ser feita por redução ao absurdo, confrontando a definição de número primo com a suposição de que o número primo em questão seja maior que 2".

Aí está o problema, como demonstrar?

por **young_jedi** » Qui Jan 10, 2013 22:13

bom vamos supor um numero primo maior que 2, dizemos que esse numero é x
agora se x é primo então ele é divisivel somente por si mesmo e por 1

agora vamos supor que x seja par portanto ele pode ser escrito como

x=2.k

onde k pode ser qualquer numero inteiro positivo, mais se dividirmos x por 2 teremos

$\frac{x}{2}=k$

como k é um numero inteiro então x é divisivel por 2, ou seja x é divisivel por ele mesmo, por 1 e por 2, portanto x não pode ser um numero primo.

por **Shetach Hefker** » Qui Jan 10, 2013 22:48

young_jedi escreveu:bom vamos supor um numero primo maior que 2, dizemos que esse numero é x
agora se x é primo então ele é divisivel somente por si mesmo e por 1

agora vamos supor que x seja par portanto ele pode ser escrito como

onde k pode ser qualquer numero inteiro positivo, mais se dividirmos x por 2 teremos

$\frac{x}{2}=k$

como k é um numero inteiro então x é divisivel por 2, ou seja x é divisivel por ele mesmo, por 1 e por 2, portanto x não pode ser um numero primo.

Sua resposta é muito interessante, e consistente. Comparei seus argumentos com os princípios que norteiam os números primos e entendi que atendem perfeitamente as regras neles estabelecidas,senão vejamos: Dizemos que n é um número primo se seus únicos divisores positivos são a unidade e ele mesmo (isso ficou provado na sua demonstração). Caso contrário, dizemos que n é composto. Em outras palavras, um número natural n > 1 é primo se sempre que escrevermos n = a.b, com a.b E N, temos necessariamente a = 1; b = n ou a = n; b = 1. Consequentemente um número natural n > 1 é composto se existem a.b E N, com 1 < a < n e 1 < b < n, tais que n = a.b. Então com base no que respondeu, podemos concluir que: 1) O número 1 não e primo nem composto; 2) Se a E Z, a > 0, então ou a é primo, ou a é composto, ou a = 1; 3) O número 2 é o único natural par que é primo; 4) De acordo com a definição acima, para decidir se um dado número n é primo é necessário verificar a divisibilidade dele (o que foi feito por você) por todos os números naturais menores que ele, o que é extremamente trabalhoso a medida que avançamos na sequencia dos números naturais. De fato, se x fosse primo e como x > 2, não existiriam naturais a e b tais que x = ab, onde 1 < a < x e 1 < b < x. Portanto, x não é primo. Pra mim a solução é esta que você bem relatou. Solução por redução ao absurdo, mediante comparação com as propriedades do números pares/ímpares. Era isso!!! Só tenho a agradecer, foi muito útil e interessante o modo como bem delineou a resposta. Obrigado mesmo!