Ângulos no Relógio

por **miguel135** » Sex Mar 28, 2014 17:02

Quantas vezes em um dia um relógio normal (analógico) tem seus 3 ponteiros formando 120 graus entre si?

por **Isis** » Sáb Abr 26, 2014 23:01

miguel135 escreveu:Quantas vezes em um dia um relógio normal (analógico) tem seus 3 ponteiros formando 120 graus entre si?

Oi miguel135,
Essa questão é de alguma prova/concurso?
Sabe me dizer a fonte dela e o gabarito?

por **miguel135** » Dom Abr 27, 2014 12:44

Não é de nenhuma prova/concurso, era somente um exercício que o professor passou como desafio, e não tenho o gabarito dessa questão.

por **e8group** » Dom Abr 27, 2014 19:09

24?? Ou não ??

A primeira hora do dia que este fato acontece é às 00 : 20 : 40 . Depois , quando o ponteiro que indica a horá passar de

para

e o que indica minuto passar de

para

e o de segundo passar de

para

, teremos o segundo horário que o fato acontece que é às 01:25:45. E O processo continua ...

02:30:50
03:35:55
04:40:60
05:45:05
06:50:10
07:55:15
08:60:20
09:05:25
10:10:30
11:15:35
$\vdots$

Na metade do dia já encontramos 12 horários .

por **miguel135** » Dom Abr 27, 2014 21:01

santhiago, não é isso. Às 00:20:40 eles não formam 120 graus entre si(lembre-se que o ponteiro pequeno não está exatamente no "12" do relógio após 20min e 40s nem o o ponteiro do minuto esta exatamento no "4" do relógio).

por **e8group** » Dom Abr 27, 2014 21:51

miguel135 escreveu:santhiago, não é isso. Às 00:20:40 eles não formam 120 graus entre si(lembre-se que o ponteiro pequeno não está exatamente no "12" do relógio após 20min e 40s nem o o ponteiro do minuto esta exatamento no "4" do relógio).

Tem razão .

por **Russman** » Dom Abr 27, 2014 21:59

Eu não tenho certeza se essa é a abordagem mais conveniente para este problema, mas eu pensei no seguinte raciocínio. O ângulo variável no tempo $\theta (t)$ que cada ponteiro forma com um referencial fixo segue uma equação diferencial da forma $\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d} t} = c$ , onde

é uma constante. Ou seja, os ponteiros percorrem ângulos iguais em tempos iguais. Certo, isso não é novidade. Portanto se, por exemplo, $\theta _ {hm}(t)$ é o angulo formado entre o ponteiro dos minutos e das horas a cada instante te tempo, eu acredito que precisamos calcular um número

de vezes tal que $\theta_{hm}(t) = \frac{2 \pi}{3} + 2k\pi$ para o intervalo de tempo de 1 dia.

Façamos que à meia-noite( t=0

) todos os ponteiros formem com relação ao eixo vertical do relógio $0 \mbox{rad}$ e o crescimento dos ângulos se dá no sentido horário. As velocidades angulares de cada ponteiro são para o das horas, minutos e segundos, respectivamente, $\frac{\pi}{6}$ rad/s , $2 \pi$ rad/2 e $7200 \pi$ rad/s. Assim, as soluções das equações de crescimento são

$\theta _ h (t) = \frac{\pi}{6} t$
$\theta_m (t) = 2 \pi t$
$\theta_s (t) = 7200 \pi t$

e, de onde, temos que os ângulos formados entre os ponteiros para cada instante de tempo é simplesmente a diferença entre eles.
Se formos verificar o angulo formado entre o ponteiro das horas e dos minutos, temos $\theta_{hm} = \frac{11}{6} \pi t$ . Daí, seguindo o raciocínio, precisamos calcular

tal que

$\frac{11}{6} \pi t = \frac{2 \pi}{3} + 2k\pi$ para 0< t< 24

já que

é à meia-noite. Fazendo a conta, encontramos que o menor

inteiro tal que t<24

é

. Daí, o ângulo entre estes ponteiros será 120° 21 vezes por dia. (será q é certo isso ???)

Mas, de qualquer forma, o problema é identificar ângulos relativos iguais. Se

fizesse o mesmo papel que

no ângulo relativo entre o ponteiro dos minutos e segundos, por exemplo, eu acho que teríamos uma equação diofantina relacionando-os.

por **Isis** » Seg Abr 28, 2014 02:39

oi Russman,
acredito que haja um equívoco no cálculo das velocidades angulares de cada ponteiro. Tem algo errado com as unidades.
Me corrija se eu estiver errada:

- o ponteiro das horas percorre 30º em 1hora
por isso velocidade do ponteiro das horas = $\pi$ /6 rad/h
logo, em 1s, ele percorre (30/3600)º
que em radianos é: ( $\pi$ /21.600)rad/s

- o ponteiro dos minutos percorre 6º em 1minuto
logo, em 1s, ele percorre (6/60)º
que em radianos é: ( $\pi$ /1800)rad/s

- o ponteiro dos segundos percorre 6º em 1segundo
que em radianos é: ( $\pi$ /30)rad/s

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Não consegui resolver esta questão mas coloco aqui um pouco do que achei em outros fóruns e um pouco de divagações...
Encontrei um exercício parecido:
Exemplo:
Observando os ponteiros das horas e dos minutos de um relógio durante o período de 24 horas, quantas vezes eles formam um ângulo reto (90º)?
a) 4
b) 44
c) 8
d) 22
e) 2
O ponteiro dos minutos dá em um dia, 24 voltas. O ponteiro das horas dá apenas 2 voltas. Cada vez que o ponteiro dos minutos dá uma volta sobre o ponteiro das horas, ocorre duas situações onde se forma o ângulo de 90° entre os ponteiros. Acontece que a velocidade relativa entre ambos é de 22 voltas do ponteiro grande (24 - 2). Nesta situação, o ponteiro dos minutos passa pelo das horas 22 vezes durante o dia, tendo então um total de 44 ângulos de 90° durante o período de 24 h. Resposta desse exemplo: letra B.
Outra resolução para esse mesmo exemplo: Pendure o relógio pelo ponteiro das horas. Assim o ponteiro dos minutos dá 22 voltas por dia (ele normalmente daria 24, mas precisamos subtrair as duas voltas que o ponteiro das horas deu).
Como temos um ângulo reto duas vezes por volta, a resposta é 44.

Pensei, pensei, mas ainda não sei usar uma analogia para inserir o ponteiro dos segundos.
Em um dia o ponteiro dos segundos dá 1440 voltas completas....

Não consegui pensar em nada mais.

por **Russman** » Seg Abr 28, 2014 18:34

Eu me enganei na hora de escrever por costume de usar a unidade em rad/s! hahah A unidade que eu usei pra medir é rad/h. Eu fiz isso pra poder usar o tempo medido em horas.

O ponteiro das horas percorre $2 \pi$ rad em 12h. Assim, sua velocidade é $\frac{\pi}{6}$ rad/h.

O ponteiro dos segundos eu errei mesmo. O ponteiro percorre $2 \pi$ rad a cada minuto. Como 1 minuto é $\frac{1}{60}$ de hora, então a velocidade será $\frac{2 \pi}{\frac{1}{60}}$ rad/h ou $120 \pi$ rad/h.

Faz até mais sentido que 7200. kk

por **Isis** » Seg Abr 28, 2014 19:10

siiim estava mesmo escrevendo agora que ia ser ligeiro esse ponteiro dos segundos hein!
sigo na tentativa de resolução.
Qualquer coisa nova postarei aqui.

por **Russman** » Ter Abr 29, 2014 11:37

hahahah SIIM. Erro feio.

por **Isis** » Qua Abr 30, 2014 12:02

Bom dia!

Há alguns dias eu postei em outro fórum a pergunta que o miguel135 fez aqui.

Obtive uma resposta BEM coerente, então, transcrevo aqui o que um membro me explicou.

Imagem

[b]E, o que considerei MUITO importante.
Percebi, com a explicação acima, que pode ser que nossa interpretação esteja errada.
A questão pede: os "3 ponteiros formando 120 graus entre si". E estamos calculando quantas vezes a soma dos ângulos entre os ponteiros é 120º. Tem diferença nisso!

De acordo com a explicação da foto, a questão pede quantas vezes a configuração abaixo acontece:
- 120º entre os ponteiros dos min e o das horas
- 120º entre os ponteiros das horas e o dos segundos
- 120º entre os ponteiros dos segundos e o dos minutos
E não quando a soma é 120º....
Fiz um desenho:
Imagem

Então, conforme o colega me explicou no outro forum: é impossível a configuração do segundo desenho que coloquei acima.
Se o ponteiro das horas estiver exatamente sobre o 4, o dos minutos exatamente sobre o 12, obrigatoriamente o ponteiro dos segundos deverá estar sobre o 12 também! É impossível que ele esteja sobre o 8, e, ao mesmo tempo, formando 120º com o ponteiro das horas!

O que acham??