Dependência e independência linear

por **MtHenrique** » Dom Mai 04, 2014 11:38

Considere a equação x1\vec{a}+y1\vec{b}+z1\vec{c}=x2\vec{a}+y2\vec{b}+z2\vec{c}.
a)Mostre que se \vec{a}, \vec{b}, e \vec{c} são LI, então x1=x2,y1=y2 e z1=z2.
b) Mostre que se \vec{a},\vec{b} e \vec{c} são LD então não podemos concluir que x1=x2,y1=y2 e z1=z2.

por **e8group** » Dom Mai 04, 2014 13:05

Apresento uma ideia mais geral :

Seja

um espaço vetorial tal que $\{v_1,v_2 , \hdots , v_m \} \subset E$ linearmente independente (L.I.) .

Seja $v' \in E$ os vetores que são escritos como combinação linear de $v_{i's}$ , isto é

$v' = \sum_{i=1}^m \alpha_i v_i = \alpha_1 v_1 + \hdots + \alpha_m v_m ; \alpha_i \in \mathbb{R}$ .

Afirmamos que

se exprimir de forma única como combinação linear dos $v_{i's}$ , em outras palavras ,

Se $v' = \sum_{i=1}^m \alpha_i v_i = \sum_{i=1}^m \beta_i v_i$ então $\alpha_i = \beta_i , i= 1 ,2,\hdots , m$ .

De fato ,

$v' = \sum_{i=1}^m \alpha_i v_i = \alpha_1 v_1 + \hdots + \alpha_m v_m = \sum_{i=1}^m \beta_i v_i = \beta_1 v_1 + \hdots + \beta_m v_m$ se e somente se (sse) $\alpha_1 v_1 + \hdots + \alpha_m v_m -( \beta_i v_i = \beta_1 v_1 + \hdots + \beta_m v_m) = O_E$ sse $(\alpha_1 - \beta_1) v_1 + \hdots + (\alpha_m - \beta_m) v_m = O_E$ .Como $\{v_1,v_2 , \hdots , v_m \} L.I$ ,segue-se por definição de independência linear que todos escalares $\alpha_i - \beta_i$ são nulos e portanto $\alpha_i = \beta_i , i = 1 ,2,3 , \hdots , m$ .

Espero que ajude .

por **MtHenrique** » Dom Mai 04, 2014 18:03

Ajudou bem

, obrigado, mas você consegue resolver a letra b)?

por **e8group** » Dom Mai 04, 2014 22:43

Dica :

Se $\{v_1, \hdots , v_m \}$ fosse L.D. ,alguns dos escalares $\alpha_i - \beta_i$ seria não nulo e com isso não podemos concluir a igualdade $\alpha_i = \beta_i$ para todo i = 1 , ...,m

.

Este raciocínio deve ser utilizado no item b.

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