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Dependência e independência linear

Dependência e independência linear

Mensagempor MtHenrique » Dom Mai 04, 2014 11:38

Considere a equação x1\vec{a}+y1\vec{b}+z1\vec{c}=x2\vec{a}+y2\vec{b}+z2\vec{c}.
a)Mostre que se \vec{a}, \vec{b}, e \vec{c} são LI, então x1=x2,y1=y2 e z1=z2.
b) Mostre que se \vec{a},\vec{b} e \vec{c} são LD então não podemos concluir que x1=x2,y1=y2 e z1=z2.
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Re: Dependência e independência linear

Mensagempor e8group » Dom Mai 04, 2014 13:05

Apresento uma ideia mais geral :

Seja E um espaço vetorial tal que \{v_1,v_2 , \hdots , v_m \} \subset E linearmente independente (L.I.) .

Seja v' \in E os vetores que são escritos como combinação linear de v_{i's} , isto é

v' =  \sum_{i=1}^m \alpha_i v_i  =   \alpha_1 v_1 +  \hdots  +  \alpha_m v_m  ;  \alpha_i \in \mathbb{R} .

Afirmamos que v' se exprimir de forma única como combinação linear dos v_{i's} , em outras palavras ,

Se v' =  \sum_{i=1}^m \alpha_i v_i  = \sum_{i=1}^m \beta_i v_i então \alpha_i = \beta_i  ,  i= 1 ,2,\hdots , m .

De fato ,

v' =  \sum_{i=1}^m \alpha_i v_i  =    \alpha_1 v_1 +  \hdots  +  \alpha_m v_m   = \sum_{i=1}^m \beta_i v_i = \beta_1 v_1 +  \hdots  +  \beta_m v_m se e somente se (sse) \alpha_1 v_1 +  \hdots  +  \alpha_m v_m -( \beta_i v_i = \beta_1 v_1 +  \hdots  +  \beta_m v_m)   = O_E sse (\alpha_1 - \beta_1) v_1 + \hdots +  (\alpha_m - \beta_m) v_m   = O_E .Como \{v_1,v_2 , \hdots , v_m \} L.I ,segue-se por definição de independência linear que todos escalares \alpha_i - \beta_i são nulos e portanto \alpha_i = \beta_i , i = 1 ,2,3 , \hdots , m .

Espero que ajude .
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Re: Dependência e independência linear

Mensagempor MtHenrique » Dom Mai 04, 2014 18:03

Ajudou bem ;) , obrigado, mas você consegue resolver a letra b)?
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Re: Dependência e independência linear

Mensagempor e8group » Dom Mai 04, 2014 22:43

Dica :

Se \{v_1, \hdots , v_m \} fosse L.D. ,alguns dos escalares \alpha_i  - \beta_i seria não nulo e com isso não podemos concluir a igualdade \alpha_i = \beta_i para todo i = 1 , ...,m .

Este raciocínio deve ser utilizado no item b.
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?