Base do Espaço Vetorial

por **biacrass** » Sex Out 11, 2013 19:06

Encontre a base do P3(R) dado por S = {x²+1, x², x³ + x² +1, x³+1, x²-1}.

Para resolver tentei fazer uma combinação linear igualando a um polinômio genérico, mas não deu certo. Alguém tem alguma ideia de como se resolve isso.

por **Tathiclau** » Sáb Dez 14, 2013 17:41

Eu achei uma base {(1,0,1,0,0), (0,1,0,0,0), (0,0,1,0,0), (0,0,0,1,0), (0,0,0,0,1)}
isolando x²+1(1,0,1,0,0) + x²(0,1,0,0,0)... entende?

por **Russman** » Dom Dez 15, 2013 00:16

O vetor

é uma combinação linear de x^2

e

. Logo, o conjunto não é LI.

Uma base para o conjunto S' = (x^2+1 , x^2, x^3 + 1, x^2 - 1)

é $X= \left \{ 1,x,x^2,x^3 \right \}$ . Veja que

é LI e GERA

. Porque? Por que

é LI e a cada vetor de

se escreve de forma única como combinação linear dos vetores de

.

por **biacrass** » Seg Jan 13, 2014 11:13

ok, obrigado, consegui compreender.

por **Guilherme Pimentel** » Qua Jan 15, 2014 06:03

O modo natural é considerar os polinomios como vetores tendo como coordenadas os seus coeficientes:

$\\ p(x)=a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4\rightarrow p=(a_1,a_2,a_3,a_4) \\ \textrm{assim vc quer o espa\c{c}o gerado por}:\\ S=\{(0,1,0,1),(0,1,0,0),(1,1,0,1),(1,0,0,1),(0,1,0,-1) \}$

Como já foi observado, o conjunto é LD, logo a base deve ter menos do que 5 elementos, pois a base é o menor conjunto LI gerador do espaço:

usando o WA para poupar tempo: http://www.wolframalpha.com/input/?i=Column+space+Transpose%5B%7B%7B0%2C1%2C0%2C1%7D%2C%7B0%2C1%2C0%2C0%7D%2C%7B1%2C1%2C0%2C1%7D%2C%7B1%2C0%2C0%2C1%7D%2C%7B0%2C1%2C0%2C-1%7D%7D%5D

Vemos que os 3 primeiros vetores geram o espaço.

O conjunto X proposto

Russman escreveu:O vetor é uma combinação linear de e . Logo, o conjunto não é LI.

Uma base para o conjunto é $X= \left \{ 1,x,x^2,x^3 \right \}$ . Veja que é LI e GERA . Porque? Por que é LI e a cada vetor de se escreve de forma única como combinação linear dos vetores de .

gera todo o espaço dos polinômios de $grau\leq 3$ e não apenas S.