Base do Espaço Vetorial

[biacrass]

Encontre a base do P3(R) dado por S = {x²+1, x², x³ + x² +1, x³+1, x²-1}.

Para resolver tentei fazer uma combinação linear igualando a um polinômio genérico, mas não deu certo. Alguém tem alguma ideia de como se resolve isso.

[Tathiclau]

Eu achei uma base {(1,0,1,0,0), (0,1,0,0,0), (0,0,1,0,0), (0,0,0,1,0), (0,0,0,0,1)}
isolando x²+1(1,0,1,0,0) + x²(0,1,0,0,0)... entende?

[Russman]

O vetor é uma combinação linear de e . Logo, o conjunto não é LI.

Uma base para o conjunto é . Veja que é LI e GERA . Porque? Por que é LI e a cada vetor de se escreve de forma única como combinação linear dos vetores de .

[biacrass]

ok, obrigado, consegui compreender.

[Guilherme Pimentel]

O modo natural é considerar os polinomios como vetores tendo como coordenadas os seus coeficientes:



Como já foi observado, o conjunto é LD, logo a base deve ter menos do que 5 elementos, pois a base é o menor conjunto LI gerador do espaço:

usando o WA para poupar tempo: http://www.wolframalpha.com/input/?i=Column+space+Transpose%5B%7B%7B0%2C1%2C0%2C1%7D%2C%7B0%2C1%2C0%2C0%7D%2C%7B1%2C1%2C0%2C1%7D%2C%7B1%2C0%2C0%2C1%7D%2C%7B0%2C1%2C0%2C-1%7D%7D%5D

Vemos que os 3 primeiros vetores geram o espaço.

O conjunto X proposto

O vetor é uma combinação linear de e . Logo, o conjunto não é LI.

Uma base para o conjunto é . Veja que é LI e GERA . Porque? Por que é LI e a cada vetor de se escreve de forma única como combinação linear dos vetores de .

gera todo o espaço dos polinômios de e não apenas S.