Mínimos quadrados e Projeção Ortogonal

[Jhonata]

Eu conheço a aplicação dos mínimos quadrados, no entanto, não estou conseguindo resolver a seguinte questão:

A reta que melhor ajusta os dados da tabela:
[x --- y]
[1 -7]
[2 8]
[3 -13]
no sentido dos mínimos quadrados é . Usando este fato, determine a projeção ortogonal do vetor ) sobre .

Agradeço a todos pela atenção e ficarei mais grato ainda aquele que puder me ajudar.

[MateusL]

Oi Jhonata.

O que simboliza <(1,2,3),(1,1,1)> ? É o produto escalar de dois vetores? Se for, a questão não tem sentido...

Abraço!

[Jhonata]

Oi Jhonata.

O que simboliza <(1,2,3),(1,1,1)> ? É o produto escalar de dois vetores? Se for, a questão não tem sentido...

Abraço!

Opa, perdoe-me ! Eu havia esquecido esse detalhe. É que minha apostila(um pouco louca rsrs) utiliza duas notações.
No caso, seria o espaço gerado pelos vetores, ou melhor: span{(1,2,3),(1,1,1)}.

[MateusL]

Sem problemas!

Realmente não sei muito dessa parte, mas pesquisando aqui achei este teorema:

Se é uma matriz com vetores-coluna linearmente independentes, então para cada matriz de tamanho , o sistema linear tem uma única solução de mínimos quadrados. Esta solução é dada por:



Além disso, se é o espaço-coluna de , então a projeção ortogonal de em é:

Vetor-coluna de é um vetor formado pelos elementos de uma coluna de
Espaço-coluna de é o subespaço gerado pelas colunas de .

Espero que isso ajude.

Abraço!

[Jhonata]

Eu conheço o Teorema e é este mesmo que estou tentando aplicar nessa questão, mas não está dando certo.

[Jhonata]

Eu conheço o Teorema e é este mesmo que estou tentando aplicar nessa questão, mas não está dando certo.

De qualquer forma, muito obrigado!

Desculpa o spam, ocorreu um problema com minha internet.

[MateusL]

Vou ver se consigo.

Queremos encontrar e tal que para todos os valores de na tabela.
Ou seja, queremos resolver o seguinte sistema:



Seja , e .
Então podemos representar o sistema por (não confundir este com o do enunciado).

Este não é um sistema linear compatível, mas sabemos que a reta que melhor ajusta os dados no sentido dos mínimos quadrados é:



Então e , ou seja, a solução pelo método dos mínimos quadrados é .
É claro que usando estes valores para , não encontrarás exatamente os valores para , mas sim os valores que minimizam a soma dos quadrados da diferença entre o valor de da tabela e o valor de obtido utilizando este valor de .

Seja o subespaço formado pelos vetores-coluna de .
Queremos encontrar a projeção ortogonal de sobre .

Pelo teorema que já postei acima:

... se é o espaço-coluna de , então a projeção ortogonal de em é:

Então:



Acredito que seja isso.

Abraço!

[Jhonata]

É isso mesmo! Muito obrigado! Salvou meus estudos. rsrs

Estava quebrando a cabeça com essa questão até agora, mas era tão simples que até me senti estúpido.

Novamente, muito obrigado!