[Matriz Inversa] Provar sem determinantes

[fabriel]

Oi pessoal me deparei com esse exerciio:

se A ou B é uma matriz não inversível então A.B também não é, Prove isto sem usar determinantes.

Como vou provar isso, sem usar um caso particular, por exemplo eu usei esse produto das duas matrizes respectivamente A e B.



Que realizando o produto resulataria na matriz nulo, e seu determinante seria nulo, portanto não apresentaria tbm inversão.

Mas como vou provar isso sem usar determinantes??

[e8group]

Pensei da seguinte forma :

Suponha matrizes e .

Seja solução do sistema .Multiplicando-se pela esquerda ambos lados da igualdade por ,aplicando a propriedade associativa e considerando ,temos :

.Agora para mostrar que não é invertível basta mostrar que o sistema admite outra solução .Para isto ,considere outra solução do sistema (note que podemos usar que o sistema admite outra solução, pois ,por hipótese são singulares ) .Assim ,novamente multiplicando-se pela esquerda ambos lados da igualdade por e por associatividade ,obtemos :

. Agora você pode concluir .