dificudade com produto interno euclidiano

por **nandooliver008** » Dom Nov 02, 2014 22:29

to em duvida na propriedade ||kv|| = |k| ||v|| na questão c)

a)encontre vetores em ${R}^{2}$ de norma 1 cujo produto interno com vetor v= (3,-1) é zero.

b)mostre que existem infinitos vetores em ${R}^{3}$ com norma 1 e cujo produto interno com vetor v= (1,-3,5) é zero.

c)sejá u=(4,1,2), v=(0,3,8), w=(3,1,2). obtenha as expressões.
||-2u|| + 2 ||u||

||3u-5v+w||

Na primeira tentei fazer ||(x,y)||=1 e 3x-1=0

Na c) meus resultados foram $\sqrt[]{1414}$ e

$\sqrt[]{21}$

por **Russman** » Seg Nov 03, 2014 02:43

Vetores em R^2 normalizados são da forma $\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}(a,b)$ . Para que o PI seja nulo com o vetor (3,-1)

é preciso que

$\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}3a-b=0$

Ou seja, 3a=b

. Portanto, os vetores de R^2 normalizados perpendiculares ao vetor (3,-1)

são do tipo

$\frac{1}{\sqrt{a^2 + 9a^2}}(a,3a) = \frac{1}{a\sqrt{10}}(a,3a) = \frac{1}{\sqrt{10}}(1,3)$

Ou seja, na verdade a solução do problema é um único vetor.

Já para o caso do R^3 é diferente. Veja que o PI de $\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}(a,b,c)$ com (1,-3,5)

nulo gera

Ou seja, existem dois parâmetros livres a solução do problema. Logo, cada vetor $\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}(a,b,c)$ tal que a-3b+5c = 0

resolve o problema e existem infinitos trios a, b e c tais q isso ocorre.

Na c,

$|-2u| + 2|u| = 2|u| + 2|u| = 4|u| = 4 \sqrt{4^2 + 1^2 + 2^2} = 4 \sqrt{21}$

e

$|3u-5v+w| =|(12-0+3 , 3-15+1 ,6-40+2 )| = |(15,-11,32)| = \sqrt{1370}$

Se eu n errei nenhuma conta eu acredito q seja isso.

por **nandooliver008** » Seg Nov 03, 2014 09:02

vlw cara muito obrigado mesmo.

por **nandooliver008** » Seg Nov 03, 2014 09:20

só mais uma duvida, pode me explicar porque em a-3b+5=0 existem 2 parâmetros? não entendi. vlw

por **nandooliver008** » Seg Nov 03, 2014 09:37

Russman escreveu:Vetores em R^2 normalizados são da forma $\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}(a,b)$ . Para que o PI seja nulo com o vetor é preciso que

$\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}3a-b=0$

Ou seja, . Portanto, os vetores de R^2 normalizados perpendiculares ao vetor são do tipo

$\frac{1}{\sqrt{a^2 + 9a^2}}(a,3a) = \frac{1}{a\sqrt{10}}(a,3a) = \frac{1}{\sqrt{10}}(1,3)$

Ou seja, na verdade a solução do problema é um único vetor.

Já para o caso do R^3 é diferente. Veja que o PI de $\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}(a,b,c)$ com nulo gera

Ou seja, existem dois parâmetros livres a solução do problema. Logo, cada vetor $\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}(a,b,c)$ tal que resolve o problema e existem infinitos trios a, b e c tais q isso ocorre.

Na c,

$|-2u| + 2|u| = 2|u| + 2|u| = 4|u| = 4 \sqrt{4^2 + 1^2 + 2^2} = 4 \sqrt{21}$

e

$|3u-5v+w| =|(12-0+3 , 3-15+1 ,6-40+2 )| = |(15,-11,32)| = \sqrt{1370}$

Se eu n errei nenhuma conta eu acredito q seja isso.

só mais uma duvida, pode me explicar porque em a-3b+5=0 existem 2 parâmetros? não entendi. vlw

por **Russman** » Seg Nov 03, 2014 14:46

Digamos que você escolha fixar o valor de

para, por exemplo, a=1

. Então,

Ou seja, os valores de

e

ainda estão "amarrados" de modo que, para capturar um único vetor da forma prevista é preciso escolher duas coordenadas e calcular a terceira.

Entende?