Espaço Vetorial

por **Razoli** » Qua Jan 08, 2014 16:25

Olá, tenho uma dúvida referente:

O QUE É esse CORPO "K" , onde o conjunto V esta sobre o mesmo, não estou entendendo o que é esse corpo! Alguém poderia me explicar de forma bastante intuitiva?

por **anderson_wallace** » Qua Jan 08, 2014 18:21

Um corpo numérico é um subconjunto

de números complexos (note que o conjunto dos reais também está contido em K) que é fechado em relação as operações elementares, ou seja, se vc somar, subtrair,multiplicar ou dividir (com divisor diferente de 0) elementos de K, irá obter um outro elemento de K.

Essa é uma definição bastante informal, e consequentemente um pouco mais simples. Mas em livros de álgebra linear há definições bem mais rigorosas que inclusive mostram algumas propriedades que os elementos de K devem satisfazer.

por **Razoli** » Qua Jan 08, 2014 19:57

Então o corpo K é como se fosse uma regra que o conjunto V deve tomar?

Se K = R, e K assumir duas operações (+/-) o meu conjunto V deve satisfazer obrigatoriamente K, ai meu V é um espaço vetorial?

por **anderson_wallace** » Qua Jan 08, 2014 20:59

Não exatamente, um corpo K não é uma regra que um dado espaço vetorial deve satisfazer.

Um corpo K é conjunto de números reais ou complexos que deve satisfazer as seguintes propriedades:

1ª) Os números 0 e 1 estão em K;

2ª) Se $x,y\in K$ então x+y e x.y pertencem a K;

3ª) Se $x\in K$ então o seu simétrico, isto é $-x\in K$ ;

4ª) Se $x\in K$ e $x\neq0$ então o inverso ${x}^{-1}\in K$ .

Já para verificar se V é um espaço vetorial vc não precisa verificar as propriedades do corpo numérico e sim as oito propriedades de espaço vetorial (que vc pode encontrar facilmente em qualquer livro), nessa situação o corpo K servirá basicamente para vc tomar elementos de K como escalares para testar as propriedades de espaço.

Por exemplo, umas das propriedades que um conjunto V qualquer deve satisfazer para ser um espaço vetorial sobre o corpo do números reais é a seguinte:

$\alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v, \forall u,v\in V \ e \ \forall \alpha\in R$

Note que o escalar $\alpha$ está no corpo, que neste caso é R.

por **Razoli** » Qua Jan 08, 2014 21:52

Hmmm então o K é nada mais que um conjunto que contém elementos, que podem ser complexos ou Reais, no qual é um corpo dos escalares, que ira satisfazer os axiomas escalares para verificar se um conjunto qualquer V é ou não um Espaço vetorial?