[Sub-Espaço Vetorial] Exercício ...

por **e8group** » Qui Jun 13, 2013 16:02

Gostaria de opiniões .Preciso concluir um exercício ,para isto preciso mostrar que para quaisquer função

em $F(\mathbb{R};\mathbb{R})$ ela pode ser reescrita como $(f + g)(x) , \forall f \in F , \forall g \in G$ sse $X\cap Y =\varnothing$ ,onde $F= \{f:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R} ; f(x) = 0 \forall x \in X \subset\mathbb{R}\}$ e $G= \{g:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R} ; g(x) = 0 \forall x \in Y \subset\mathbb{R}\}$ .

Primeiro ,supus (por absurdo) que $X\cap Y \neq \varnothing$ e mostrei que esta suposição é falsa para que hipótese $F(\mathbb{R};\mathbb{R}) = F+G$ seja verdadeira . Agora preciso mostrar se $X\cap Y = \varnothing$ tem-se $F(\mathbb{R};\mathbb{R}) = F + G$ .

Posso definir $w(x) = ([\phi +g] +[\gamma +f])(x)$ e com isso obter que $(f+g)(x) =(w-\phi -\gamma)(x)$ com $f,g,\phi ,\gamma \in F(\mathbb{R};\mathbb{R})$ em particular $f \in F , g \in G$ que são subespaços vetoriais de $F(\mathbb{R};\mathbb{R})$ (isto foi provado no item (a) do mesmo exercício e também já foi demonstrado em outro exercício do mesmo livro que $[tex]F(\mathbb{R};\mathbb{R})$ é espaço vetorial) ??

Obrigado .