sucessoes

por **ulisses123** » Sex Jun 20, 2014 15:23

A sucessão (Zn ) é definida por Zn =(-1)^n/3n + (-1)^n-1
24.1 Calcule a somados seus quatro primeiros termos.
24.2 Prove que (Zn )é limitada.
24.3 Prove que (Zn ) não é convergente

por **e8group** » Sex Jun 20, 2014 15:48

No primeiro não há muito o que fazer ; só computar $\sum_1^4 z_i$ . No segundo , tome módulo e use desigualdade triangular para obter $|z_n| \leq \frac{1}{3n} + 1 < 2$ . Para o último, sugiro que trabalhe com as duas sub-sequências $(z_{2n-1})$ e $(z_{2n})$ , oque se pode dizer sobre seus limites ??

por **ulisses123** » Dom Jun 29, 2014 14:34

olá, eu não sei o que são subsucessoes,nem entendi acerca da desigualdade triangular,pode me ajudar por favor

por **e8group** » Dom Jun 29, 2014 16:25

(I) Desigualdade triangular :

Na geometria Euclidiana , o comprimento de um lado de um triângulo é sempre menor que a soma dos demais comprimentos .Em analogia , tem-se que

dados a,b

reais quaisquer , vale a desigualdade $| a + b | \leq|a| + |b|$ .

(II) Dada uma sequência (ou sucessão) $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ( ou apenas denotando (a_n)

) .Uma subsequencia desta sequência, a grosso modo é uma nova sequência com termos da primeira sequência e estes termos respeita a ordenação da sequência original .

Ex.:

$(a_{5k})_{k \in \mathbb{N}}$ é uma subsequência de $(a_{n})$

(iii) Uma sequência (a_n)

é limitada se existe m > 0

tal que

$|a_n| \leq m$ ( $\forall n \in \mathbb{N}$ ) .

A distância de a_n

à origem (0 ) nunca será superior a

.

Para resolver o exercício . Tome $a = \frac{(-1)^n}{3n}$ e $b= (-1)^{n-1}$ . Aplique a desigualdade e determine algum m > 0

. (Isto provará que ela é limitada)

E calcule os limites das duas subsequências de termos com índice par e impar ; mostre que os limites diferem o que equivale dizer que sequência não converge .

por **ulisses123** » Dom Jul 06, 2014 12:10

olá, santiago por favor, resolva esses dois itens: provar que se ela é limitada, e que não estou a conseguir fazer

por **e8group** » Dom Jul 06, 2014 13:23

Note que ,

$| \frac{(-1)^n}{3n} | = \frac{1}{3n} \leq \frac{1}{3} , n=1,2,3, \hdots$ e

$| (-1)^{n-1} | = 1 , n =1,2,3 , \hdots$ .

Segue-se que

$|z_n| = | \frac{(-1)^n}{3n} + (-1)^{n-1} | \leq | \frac{(-1)^n}{3n} | + | (-1)^{n-1} | = \frac{1}{3n} + 1 \leq \frac{1}{3} +1$ , para todo $n=1,2,3 ,\hdots$ o que prova que (z_n)

é limitada .

Quanto a divergência da sequência , basta notar que computando o limite da subsequencia

$(z_{2n})$ vamos obter

$\lim(z_{2n}) = \lim(\frac{(-1)^{2n}}{6n} + (-1)^{2n-1}) = \lim( \frac{1}{6n} - 1) = \lim(\frac{1}{6n}) + \lim(-1) = - 1$ .

Por outro lado , computando o limite da outra subsequência $(z_{2n+1})$ teremos

$\lim(z_{2n+1}) = \hdots = 1$ (verifique !)

Hipótese $\implies$ tese (Se uma sequência converge , então toda subsequência converge para o mesmo limite )

Negação da tese $\implies$ negação da hipótese ( existe duas subsequências distintas 'convergindo' para limites distintos o que implica que a sequência não converge )

por **ulisses123** » Dom Jul 06, 2014 15:26

olá,santiago muito obrigado, somente por favor me ajuda nessa: sendo Un=n-(-1)^n, como provar que ela é não limitada,

por **e8group** » Dom Jul 06, 2014 16:11

Ok , Mas ,na próxima vez utilize o sistema LaTeX e crie um novo tópico para um novo exercício .

Proposta 1 ( Prova por contradição )

(u_n)

é limitada se é limitada inferiormente e superiormente .

Suponha (por absurdo ) (u_n)

limitada e portanto (u_n)

limitada superiormente .

Seja

uma cota superior a qual cumpre com $u_n \leq m$ para todo

natural .

Tome qualquer n_0 > m/2

natural ( propriedade arquimediana assegura a des.) . Note que ,

$2n_0 - 1 \in \mathbb{N}$ e

$u_{2n_0 - 1} = ( 2 n_0 - 1 ) - (-1)^{2 n_0 - 1} = ( 2 n_0 - 1 ) - (-1) = 2 n_0 > m$ que contradiz a suposição .

Portanto u_n

não é limitada superiormente o que implica que não é limitada .

Proposta 2 :

Pela desigualdade triangular

$n= |n| = | [n -(-1)^n ] + (-1)^n| \leq |u_n| + |(-1)^n| = |u_n| + 1$ e portanto

$|u_n| \geq n - 1$ . Passando ao limite com $n \to +\infty$ e notando que $n-1 \to +\infty$ o resultado segue .

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