Sem utilizar o método de indução matemática

por **Prof Prevaricador** » Dom Abr 14, 2013 19:39

Este exercício nem sei por onde começar...

Sem utilizar o método de indução matemática, mostre que:

$\sum_{{i}={0}}^{n}i(_{i}^{n}\textrm{})^2=n(_{n}^{2n-1}\textrm{})$ , n ? 1

Podem dar-me um empurrãozinho?

P.S. - Penso que seja suposto usar as igualdade binomiais
mas não estou a ver como...

por **e8group** » Dom Abr 14, 2013 20:52

Pensei da seguinte forma :

Solução :

Desenvolvendo , $\sum_{i=0}^n i\binom{n}{i}^2$ ,segue

$\sum_{i=0}^n i\binom{n}{i}^2 = \sum_{i=0}^n i\frac{n!^2}{i!^2(n-i)!^2} = n!^2 \left(\frac{1}{(n-1)!^2}+ \frac{1}{2(n-2)!^2} +\frac{1}{12(n-3)!^2} + \hdots + \frac{1}{n!(n-1)!} \right)$ .

E ainda ,

$n!^2 \left(\frac{1}{(n-1)!^2}+ \frac{1}{2(n-2)!^2} +\frac{1}{12(n-3)!^2} + \hdots + \frac{1}{n!(n-1)!} \right) =$

$\frac{n}{n!(n-1)!} \cdot \left(\frac{1}{(n-1)!^2}+ \frac{1}{2(n-2)!^2} +\frac{1}{12(n-3)!^2} + \hdots + \frac{1}{n!(n-1)!}\right) \cdot (n-1)!^2 n!^2$ .

OBS.: $n!^2 =n! \cdot n! = n \cdot n! \cdot (n-1)! = n \cdot (n! \cdot (n-1)!)^2/( n! \cdot (n-1)!)$ .

Dica : Mostre que

$\left(\frac{1}{(n-1)!^2}+ \frac{1}{2(n-2)!^2} +\frac{1}{12(n-3)!^2} + \hdots + \frac{1}{n!(n-1)!}\right) \cdot (n-1)!^2 n!^2 = \\ \\ (2n-1)!$ .

por **Prof Prevaricador** » Dom Abr 14, 2013 21:08

Obrigado pela ajuda santhiago!!
Vou ler melhor a tua explicação mas entretanto,
após uma leitura mais aprofundada sobre esta matéria estou
a pensar usar a Lei da Simetria e a Convolução de Vandermonde...

$\sum_{{i}={0}}^{n}i(_{i}^{n}\textrm{})^2=\sum_{{i}={0}}^{n}i(_{i}^{n}\textrm{})(_{i}^{n}\textrm{})$

Aplicando a lei da simetria: $(_{k}^{n}\textrm{})=(_{n-k}^{n}\textrm{})$
Nota:(tenho dúvidas se se pode aplicar por causa do "i" que ficou de fora...)

$\sum_{{i}={0}}^{n}i(_{i}^{n}\textrm{})(_{n-i}^{n}\textrm{})$

Aplicando a Convolução de Vandermonde $\sum_{{k}={0}}^{n}(_{k}^{r}\textrm{})(_{n-k}^{s}\textrm{})=(_{n}^{r+s}\textrm{})$

Ficando com

$i(_{n}^{2n}\textrm{})$

Ou seja, a demonstração dá-me errado!!
Não consigo perceber porquê...

Podes verificar esta resolução e porque é que dá errado?

Abraço

por **Prof Prevaricador** » Seg Abr 15, 2013 13:51

Santhiago:

Não consegui resolver este exercíco com a Convolução de Vandermonde
e acho que nem sequer se pode aplicar neste caso...

Mas continuo sem perceber a tua resoluçao!

Neste passo:

$\sum_{i=0}^n i\binom{n}{i}^2 = \sum_{i=0}^n i\frac{n!^2}{i!^2(n-i)!^2} = n!^2 \left(\frac{1}{(n-1)!^2}+ \frac{1}{2(n-2)!^2} +\frac{1}{12(n-3)!^2} + \hdots + \frac{1}{n!(n-1)!} \right) .$

o que é que aconteceu ao

$\sum_{i=0}^n i$

Além disso, ao desevolver não te esqueceste que no divisor i!^2

?

Cumprimentos

por **e8group** » Seg Abr 15, 2013 16:07

Então ,observe que $i!^2 = i \cdot (i-1)! \cdot i !$ não é verdade ? .

Assim , $\sum_{i=0} ^n i \frac{ n!^2 }{i!^2 (n-i)!^2} = 0 + \sum_{i=1}^n i \frac{ n!^2 }{i!^2 (n-i)!^2} = \sum_{i=1} i \frac{ n!^2 }{i!^2 (n-i)!^2} = n!^2 \sum_{i=1}^n \frac{ 1}{ (i-1)! \cdot i ! (n-i)!^2}= n!^2 \sum_{i=1}^n \frac{ 1}{(i-1)! \cdot i ! (n-i)!^2}$ .

Quando $i= 1,2,\hdots , n$ veja como fica cada parcela :

$n!^2 \frac{ 1}{(1-1)! \cdot 1 ! (n-1)!^2} = n!^2 \frac{ 1}{(n-1)!^2}$

$n!^2 \frac{ 1}{(2-1)! \cdot 2 ! (n-2)!^2} = n!^2 \frac{ 1}{2 (n-2)!^2}$

(...)

$n!^2 \frac{ 1}{(n-1)! \cdot n ! (n-n)!^2} = n!^2 \frac{ 1}{n! (n-1)!}$

Certo ?

OBS_1.: A solução que indiquei infelizmente não é adequada .Convenhamos que não é simples mostrar que

$\left(\frac{1}{(n-1)!^2}+ \frac{1}{2(n-2)!^2} +\frac{1}{12(n-3)!^2} + \hdots + \frac{1}{n!(n-1)!}\right) \cdot (n-1)!^2 n!^2$ é igual a (2n-1)!

.

OBS_2.:Acredito que seu pensamento está correto ao utilizar Convolução de Vandermonde.Mas que tal trabalhar antes em $\sum_{i=0}^n i\binom{n}{i}^2$ de forma a eliminar o termo "i" ?

por **Prof Prevaricador** » Seg Abr 15, 2013 16:45

Obrigado santhiago, vou voltar a resolver o problema usando a abordagem que indicas.

Entretanto podes dar a tua opinião sobre como resolver o exercício:
http://www.ajudamatematica.com/viewtopic.php?f=121&t=11710

Cumprimentos