Demonstrar função hiperbólica

por **samra** » Sáb Out 06, 2012 15:41

Como faço para provar a identidade hiperbólica abaixo?

$senh\left(\frac{1}{2}x \right) = +- \sqrt[]{\frac{cosh x-1}{2}}$

Obg

por **MarceloFantini** » Sáb Out 06, 2012 16:16

Você pode tentar usar a definição de seno hiperbólico: $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ , daí $\sinh^2 x = \left( \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right)^2$ e trabalhe pra chegar no quadrado da expressão dada.

Outra forma é você usar fórmulas de arco duplo de seno e cosseno hiperbólico (que eu não sei de cabeça), deve sair mais facilmente.

por **samra** » Sáb Out 06, 2012 18:02

Olha o que eu fiz:

$senh \left(\frac{1}{2}x \right) = +- \sqrt[]{\frac{coshx-1}{2}} = cosh (x) = cosh \left(\frac{x}{2} + \frac{x}{2} \right) = cosh \left(\frac{x}{2} \right). cosh \left(\frac{x}{2} \right) + senh \left(\frac{x}{2} \right). senh \left(\frac{x}{2} \right) = {cosh}^{2}\left(\frac{x}{2} \right) + {senh}^{2}\left(\frac{x}{2} \right)$

sendo ${cosh}^{2} \alpha - {senh}^{2}\alpha = 1$ temos que:

$\alpha = \frac{x}{2}$

O que nos dá ${cosh}^{2}\frac{x}{2} = 1 + {senh}^{2}\frac{x}{2}$

O que eu devo fazer agora?

Obg, att.

por **MarceloFantini** » Sáb Out 06, 2012 18:15

Se $\cosh x = \cosh^2 \frac{x}{2} = 1 + \sinh^2 \frac{x}{2}$ , então $\cosh x = \cosh^2 \frac{x}{2} + \sinh^2 \frac{x}{2} = 1 + 2 \sinh^2 \frac{x}{2}$ , portanto

$\sinh^2 \frac{x}{2} = \frac{\cosh x - 1}{2}$ .