[Taxa de variação] propagação da luz(Duvidas)

por **e8group** » Qua Jun 06, 2012 11:37

um farol ,situado a 1000 m de uma costa (praticamente) reta está girando com uma velocidade de 3rpm (rotações por minuto)
.Qual a velocidade da luz do farol na região costeira quando o ângulo entre o feixe de luz e a perpendicular do farol à praia é de $\frac{\pi}{4}$ (resposta 300 pi m/min) ?

Tentativa de solução :

primeiramente ,considerei um ponto (P) no espaço de modo que sua distância a costa seja ortogonal e equivale 1000 m.

A parti de P a luz se propaga de modo retilineo em sentido a região costeira cujo o Ângulo de incidência é igual a pi/4 .

com essas ideias ,utilizei Pitágoras no Triângulo retângulo e derivei cada parcela em relação ao tempo e achei uma resposta que difere do gabarito .

Alguém poderia sugerir alguma ideia p/ resolver este exercício ?

Obrigado.

por **hygorvv** » Qua Jun 06, 2012 17:05

santhiago escreveu:um farol ,situado a 1000 m de uma costa (praticamente) reta está girando com uma velocidade de 3rpm (rotações por minuto)
.Qual a velocidade da luz do farol na região costeira quando o ângulo entre o feixe de luz e a perpendicular do farol à praia é de $\frac{\pi}{4}$ (resposta 300 pi m/min) ?

Tentativa de solução :

primeiramente ,considerei um ponto (P) no espaço de modo que sua distância a costa seja ortogonal e equivale 1000 m.

A parti de P a luz se propaga de modo retilineo em sentido a região costeira cujo o Ângulo de incidência é igual a pi/4 .

com essas ideias ,utilizei Pitágoras no Triângulo retângulo e derivei cada parcela em relação ao tempo e achei uma resposta que difere do gabarito .

Alguém poderia sugerir alguma ideia p/ resolver este exercício ?

Obrigado.

Sendo x a hipotenusa, e k a distancia percorrida na costa, temos:
$x=\sqrt({10^{6}+k^{2}})$
mas, $sen(\theta)=\frac{k}{x} \to x=\frac{k}{sen(\theta})$
$\frac{k^{2}}{sen^{2}(\theta}=10^{6}+k^{2}$
$k^{2}(1-sen^{2}(\theta)=10^{6}$
$k^{2}.cos^{2}(\theta)=10^{6}$
$k^{2}=\frac{10^{6}}{cos^{2}\theta}$
$k=\frac{10^{3}}{|cos\theta|}$
mas, $\theta=w.t$ e $w=3.2\pi=6\pi$ , logo, $\theta=6\pi$
assim
$k(t)=\frac{10^{3}}{cos(6\pi t)}$
Derivando em relação ao tempo, temos:
$\frac{dk(t)}{dt}=v(t)=6000 \pi tg(6 \pi t).sec (6 \pi t)$
mas $6pi t=\theta=\frac{\pi}{4}$
Logo
$v=6000 \pi tg(\frac{\pi}{4}).sec (\frac{\pi}{4})=6000 \sqrt{2} \pi$ m/min

Não sei onde errei (se errei), espero que te ajude em algo.

por **e8group** » Qua Jun 06, 2012 21:39

Hygorvv,Muito Obrigado pela atenção .Eu tinha resolvido desta forma e achei a mesma resposta que você ,entretanto fiz o exercício novamente e achei uma resposta diferente da sua e inclusive do gabarito .

$\theta = 6\pi t = \frac{\pi}{4}\\ y=1000 m .\\ 10^6 +y^2= z^2 \\ (sin(\theta))^{-2} y^2=z^2 \rightarrow 10^6=y^2([sin(\theta)]^{-2} -1)\\ \frac {d}{dt} y =10^3 6\pi tan(\theta)(1+[tan(\theta)]^2) = 12\pi 10^3 m/min$

Sera que estar certo ?

Alguém pode ajudar,por favor?

por **Russman** » Qui Jun 07, 2012 00:15

Você precisa calcular o módulo do vetor velocidade, que é indicado pelo vetor azul na imagem. Este é,

$\left | \overrightarrow{v} \right |=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}x(\theta )$ .

Da imagem notamos que o valor

é dado por

$x(\theta )=r.tg(\theta )$ .

Assim,

$v=\left | \overrightarrow{v} \right |=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}x(\theta )=\frac{\mathrm{d}x(\theta) }{\mathrm{d} \theta }.\frac{\mathrm{d} \theta }{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d}( r.tg(\theta ))}{\mathrm{d} \theta }\dot{\theta } = r\dot{\theta }\left (\sec (\theta ) \right )^{2}$ .

Portanto, visto que $\dot{\theta } = 3rpm.\frac{2\pi rad}{1min} = 6\pi rad/min$ , temos para $\theta= \frac{\pi}{4}$

$v= r\dot{\theta }\left (\sec (\theta ) \right )^{2}= 1000.6\pi.2=12000 \pi m/min$ .

por **e8group** » Qui Jun 07, 2012 12:44

Russman,Muito obrigado .Então, minha solução está correta e neste caso o gabarito errado .
Como você fez para gera a imagem ? qual aplicativo usou ?

Abraços !