[equaçoes diferenciais] EDO 1ªordem homogenea

por **paula luna** » Qui Dez 01, 2011 03:35

Oi estou com muita dificuldade com esta questao, se alguem conseguir resolve-la por favor poste a resoluçao. Segue abaixo a questao com resposta e tambem o que eu tentei.

$Questao: \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}.ln\left(\frac{y}{x} \right)$

$Resposta: 1 - ln\left|\frac{y}{x} \right| = \frac{x}{C}$

Minha tentativa: Bem, antes de botar as expressoes eu queria tambem perguntar se esta questao tambem nao poderia ser feita por 'variaveis separaveis' diretamente.

Trocando-se
dy = u.dx + x.du

$\frac{\left(udx + xdu \right)}{dx} = u.ln(u)$
Arrumando...

$u + \frac{xdu}{dx} = u.ln(u)$

$\frac{dx}{x} -\frac{du}{u.\left(ln(u) -1 \right)} = 0$
Aplicando a integral nos 2 lados:

$\int_{}^{}\frac{dx}{x} - \int_{}^{}-\frac{du}{u.\left(ln(u) -1 \right)} = C$
Calculando ...

$ln(x) - ln\left|ln(u) -1 \right| = C$
Daqui pra frente eu usei propriedade de log e exponencial pra tranfsrmar a subtraçao de logs em divisao e poder retirar uma das logs ( meio confuso mas acho que da pra intender aqui embaixo)

$ln\left|\frac{ln(u) - 1}{x} \right| = C$

$\left|\frac{ln(u) - 1}{x} \right| = {e}^{C}$

$ln|u| = |x| . {e}^{C}+1$

Voltando com y :
$ln\left|\frac{y}{x} \right| = |x|.{e}^{C} +1$

parei aqui

:y:

por quem leu, quem tentou, quem conseguiu ....
Obs.: eu escrevi ln(u) varias vezes mas era ln|u| :n:

por **LuizAquino** » Sex Dez 02, 2011 18:36

paula luna escreveu:Oi estou com muita dificuldade com esta questao, se alguem conseguir resolve-la por favor poste a resoluçao. Segue abaixo a questao com resposta e tambem o que eu tentei.

Questao: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}.ln\left(\frac{y}{x} \right)$

Resposta: $1 - ln\left|\frac{y}{x} \right| = \frac{x}{C}$

paula luna escreveu:Minha tentativa: Bem, antes de botar as expressoes eu queria tambem perguntar se esta questao tambem nao poderia ser feita por 'variaveis separaveis' diretamente.

Não poderia.

paula luna escreveu:Trocando-se

$\frac{\left(udx + xdu \right)}{dx} = u.ln(u)$

Ok.

paula luna escreveu:Arrumando...

$u + \frac{xdu}{dx} = u.ln(u)$

$\frac{dx}{x} -\frac{du}{u.\left(ln(u) -1 \right)} = 0$

Ok.

paula luna escreveu:Aplicando a integral nos 2 lados:

$\int \frac{dx}{x} - \int -\frac{du}{u.\left(ln(u) -1 \right)} = C$
Calculando ...

$ln(x) - ln\left|ln(u) -1 \right| = C$

Apenas corrigindo:

$\int \frac{dx}{x} - \int \frac{du}{u\left(\ln(u) -1 \right)} = C \Rightarrow \ln|x| - \ln \left|\ln(u) - 1\right| = D$

Obs. 1: Lembre-se que ao calcular as duas integrais surgirão duas novas constantes, que irão subtrair C dando origem a uma outra constante D.

paula luna escreveu:Daqui pra frente eu usei propriedade de log e exponencial pra tranfsrmar a subtraçao de logs em divisao e poder retirar uma das logs ( meio confuso mas acho que da pra intender aqui embaixo)

$ln\left|\frac{ln(u) - 1}{x} \right| = C$

Errado. O correto seria:

$\ln|x| - \ln \left|\ln(u) - 1\right| = D \Rightarrow \ln\left|\frac{x}{\ln(u) - 1} \right| = D$

Disso temos que:

$\left|\frac{x}{\ln(u) - 1}\right| = e^D$

$\frac{x}{\ln(u) - 1} = \pm e^D$

Note que $\pm e^D$ é uma constante. Vamos chamá-la de E.

Desse modo, temos que:

$\frac{x}{\ln(u) - 1} = E$

$\frac{x}{E} = \ln(u) - 1$

$1 - \ln(u) = -\frac{x}{E}$

Lembrando que $u=\frac{y}{x}$ e chamando a constante $-\frac{1}{E}$ de F , temos que:

$1 - \ln\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{x}{F}$

Obs. 2: Vale lembrar que o "nome" que damos as constantes não importa. A cada passo você pode chamá-las de tal modo que no fim a resposta fique no formato do gabarito.

Obs. 3: Da forma como foi apresentada a EDO, devemos ter $\frac{y}{x} > 0$ , pois essa expressão está dentro do logaritmo que aparece no segundo membro da equação. Portanto, na resposta final essa expressão não precisa aparecer em módulo.