[Aplicações do vetor gradiente] Aplicações das propriedades

por **TheoFerraz** » Sex Out 28, 2011 16:14

A ideia é:

"determine uma curva $\gamma (t) = (x(t),y(t))$ que passe pelo ponto $\gamma (0) = (1,2)$ e intercepte ortogonalmente todas as curvas da familia ${x}^{2} + 2{y}^{2} = c\; , \; \forall \; c \in R$ "

O fato é que eu consegui terminar o exercicio mas nao estou convencido de uma passagem que eu fiz.

em um momento voce se depara igualando o gradiente da função $f(x,y)= {x}^{2} + 2{y}^{2}$ que fica $\nabla (x,y) = 2 \times (x,2y)$ á derivada da função gamma.

resulta um sistema assim:

x'(t) = x

Se voce imagina as variaveis x e y como funções, tudo bem, essas equações diferenciais vão apontar uma exponencial que de fato é a resposta. Mas pra mim elas não são funções. são variaveis do plano real, só. não são funçoes de t.
Não compreendo por que posso tratar o x do lado direito da igualdade como função. Na minha cabeça é só uma incógnita

Estou tendo dificuldade nessa parte da teoria, alguem pode ajudar ? obrigado.

por **LuizAquino** » Sáb Out 29, 2011 11:16

TheoFerraz escreveu:Estou tendo dificuldade nessa parte da teoria, alguem pode ajudar ? obrigado.

Vide uma interpretação geométrica do exercício (fora de escala).

: interpretação-geométrica.png (9.69 KiB) Exibido 3299 vezes

Note que o ponto $(x_0,\,y_0)$ pertence as curvas $\gamma (t)$ e $f(x,\,y)=c$ .

Dessa maneira, quando fazemos $\nabla f(x,\,y) = \gamma^\prime(t) = (x^\prime(t),\,y^\prime(t))$ , estamos considerando essa equação em algum ponto $(x_0,\, y_0)$ que pertence ao mesmo tempo a $\gamma (t)$ e $f(x,\,y)=c$ . Ou seja, esse ponto $(x,\,y)$ no qual estamos avaliando f depende de t.

Sendo assim, no sistema de equações diferenciais abaixo x e y são funções de t:

$\nabla f(x,\,y) = (x^\prime,\,y^\prime) \Rightarrow \begin{cases}2x = x^\prime \\ 4y = y^\prime \end{cases}$