Derivada pela definição de limite

por **Andreyan** » Ter Jul 12, 2011 17:55

Ola, estou com um exercício onde não consigo derivá-lo pela definição de limite. $1/\sqrt[]{x}$ ?

Atravez da regra do quociente chego facilmente na resposta $1/2x\sqrt[]{x}$ , porém talvez nao esteja manuseando corretamente pela definição de limite que é esta: $\lim_{h\rightarrow0}f(x + h) - f(x)/h$
Tive essa questão na minha ultima prova e até agora não consegui resolvê-la. obrigado desde já.

por **Andreyan** » Ter Jul 12, 2011 17:59

$(1/\sqrt[]{x + h} - 1/\sqrt[]{x})1/h = 1/h\sqrt[]{x + h} - 1/h\sqrt[]{x}$

Eu não passo dessa etapa.

por **LuizAquino** » Ter Jul 12, 2011 18:45

Seja a função $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ .

Pela definição de derivada, temos que:
$f^\prime(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{x+h}} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{h}$

Efetuando-se a subtração entre as frações, obtemos:
$f^\prime(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+h}}{\sqrt{x+h}\sqrt{x}}}{h}$

Mas, isso é o mesmo que:
$f^\prime(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+h}}{h\sqrt{x+h}\sqrt{x}}$

Para terminar de resolver esse limite, multiplique tanto o numerador quanto o denominador por $\sqrt{x} + \sqrt{x+h}$ .

Vale lembrar que a resposta final será:
$f^\prime(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$

por **Andreyan** » Qua Jul 13, 2011 13:05

$\frac{\sqrt[]{x} - \sqrt[]{x + h}}{h\sqrt[]{x + h}\sqrt[]{x}} . \frac{\sqrt[]{x} + \sqrt[]{x + h}}{\sqrt[]{x} + \sqrt[]{x + h}}$

$\frac{x - x + h}{hx\sqrt[]{x + h} + h(x + h)\sqrt[]{x}}$

$\frac{h}{h (x.\sqrt[]{x + h} + (x + h).\sqrt[]{x}}$

$\frac{1}{x.\sqrt[]{x + h} + (x + h).\sqrt[]{x}}$

Neste momento eu usei o limite e ficou assim:

$\frac{1}{x.\sqrt[]{x} + x.\sqrt[]{x}}$

$\frac{1}{2x . \sqrt[]{x}}$

acredito que esteja tudo certo, obrigado pela ajuda, sinto muita dificuldade no momento que vc disse de multiplicar o numerador e o denominador, pela mesma expressão. Não por multiplicar, mas sim "pelo que multiplicar", vários limites me atrapalham por causa disso, principalmente com radicais, alguma dica? eu nem sei qual o nome desta operação..rs.

por **LuizAquino** » Qua Jul 13, 2011 15:27

Andreyan escreveu: $\frac{\sqrt[]{x} - \sqrt[]{x + h}}{h\sqrt[]{x + h}\sqrt[]{x}} \cdot \frac{\sqrt[]{x} + \sqrt[]{x + h}}{\sqrt[]{x} + \sqrt[]{x + h}}$

$\frac{x - x + h}{hx\sqrt[]{x + h} + h(x + h)\sqrt[]{x}}$

$\frac{h}{h (x.\sqrt[]{x + h} + (x + h).\sqrt[]{x}}$

Você errou o sinal.

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x + h}}{h\sqrt{x + h}\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x + h}}{\sqrt{x} + \sqrt{x + h}} = \frac{x - (x + h)}{hx\sqrt{x + h} + h(x + h)\sqrt{x}} = \frac{-h}{h[x\sqrt{x + h} + (x + h)\sqrt{x}]}$

Andreyan escreveu:sinto muita dificuldade no momento que vc disse de multiplicar o numerador e o denominador, pela mesma expressão. Não por multiplicar, mas sim "pelo que multiplicar", vários limites me atrapalham por causa disso, principalmente com radicais, alguma dica?

Dica: revisar os conteúdos do ensino fundamental e médio. Um bom lugar para começar é o canal do Nerckie no YouTube:
http://www.youtube.com/nerckie

Andreyan escreveu:eu nem sei qual o nome desta operação..rs.

No caso desse exercício, procure por "racionalização de denominadores".

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