Integral definida

por **exploit** » Ter Set 07, 2010 19:17

Olá, estou tendo problema ao realizar a seguinte integração:
$L = \int_{0}^{2\pi} {\sqrt[2]{((1 - cos(t))^2 + {sen(t)}^2)}} dt.$

Segundo o gabarito, a resposta é 8. Mas sempre chego na resposta 0. A função primitiva que obtive ao integrar foi
$F(t) = 2\sqrt[2]{2+2cos(t)}$

Obs.: Realizei duas substituições (u = 1 - cos(t), du = sent(t); e s = 2 - u, ds = du).

Antecipadamente, agradeço a atenção!

[]s,
Exploit

por **MarceloFantini** » Qua Set 08, 2010 01:30

Cara, eu tentei resolver mas não obtive resultado (eu chegava até $\int_0^{2\pi} \sqrt {2 - 2cos(t)} \; dt$ e não conseguia sair). Fui no wolfram, ele resolveu através de várias substituições:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... +((1-cos(t))^2+%2B+sen^2(t)+)+dt

Por essa primitiva (sem a cotangente, claro), a resposta dá 8.

por **exploit** » Qua Set 08, 2010 04:21

Estranho, a resposta não pode ser 8 usando a primitiva $F(t) = 2 \sqrt[2]{2 cos(t)+2} + constant$ . Pois,

$L = \int_{0}^{2\pi} {\sqrt[2]{((1 - cos(t))^2 + {sen(t)}^2)}} dt$

$= 2 \sqrt[2]{2 cos(2\pi)+2} - 2 \sqrt[2]{2 cos(0)+2} = 4 - 4 = 0$ . Onde $cos(2\pi) = cos(0) = 1.$

Além disso, quando tratamos da primitiva "final" $F(t) = -2 \sqrt[2]{2 - 2cos(t)}cot(t/2) + constant$ , sugerida pelo tal WolframAlpha, chegamos a outro impasse, no que tange o seguinte:

$L = \int_{0}^{2\pi} {\sqrt[2]{((1 - cos(t))^2 + {sen(t)}^2)}} dt$

$= -2 \sqrt[2]{2 - 2cos(2\pi)}cot(\pi) - (-2 \sqrt[2]{2 - 2cos(0)}cot(0)) = \infty + \infty = \infty$ . Onde $cot(\pi) = -\infty$ e $cot(0) = +\infty.$

Alguém teria outra solução?

por **MarceloFantini** » Qua Set 08, 2010 05:11

Isso é realmente estranho, pois:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... f+(1-cos(t))^2+%2B+sen^2(t)

Mas o Wolfram não mostra a conta.

por **exploit** » Qua Set 08, 2010 19:58

Alguém, que entenda bem de Integrais Impróprias, poderia me dizer se devo aplicar o limite na integração? Ou dividir os pontos definidos para duas integrais? Ou ainda alguma outra idéia?

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