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Derivação implicita , quem ajuda ?

Derivação implicita , quem ajuda ?

Mensagempor Loretto » Ter Ago 03, 2010 02:15

Seja y = f(x) definida implicitamente na equação sec² (x+y) - cos²(x-y) = 3/2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto ( Pi/4, O).

Parece que eu preciso aplicar a derivação na forma implicita. Mas eu ainda não entendi muito bem esse negócio de derivação implicita, alguém me pode dar uma boa explicação, ou mesmo me recomendar um bom site, preciso de ajuda !!!!!!!
Obrigado, vlw !! :idea: :idea: :idea:
Loretto
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Re: Derivação implicita , quem ajuda ?

Mensagempor Adriano Tavares » Qua Mar 09, 2011 00:36

Olá,Loreto.

sec^2(x+y)-cos^2(x-y)=\frac{3}{2}

Diferenciando ambos os membros em relação a x teremos:

2sec(x+y).sec(x+y).tg(x+y).(1+y')-[2cos(x-y).(-sen(x-y).(1-y')]=0

2sec^2(x+y)tg(x+y).(1+y')=-2cos(x-y).sen(x-y).(1-y')\\\\ \frac{1+y'}{1-y'}=-2\left(\frac{cos(x-y).sen(x-y)}{2sec^2(x+y).tg(x+y)}\right)

Substituindo os valores de x e y teremos:

\frac{1+y'}{1-y'}=-\frac{cos45^\circ.sen45^\circ}{sec^2 45^\circ .tg 45^\circ} \Rightarrow \frac{1+y'}{1-y'}=-\frac{cos 45^\circ.sen 45^\circ}{\frac{1}{cos^2 45^\circ}}}\\\\\frac{1+y'}{1-y'}=-sen45^\circ.cos^3 45^\circ \Rightarrow \frac{1+y'}{1-y'}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3\\\\\frac{1+y'}{1-y'}=-\frac{1}{4} \Rightarrow 4y'+4=-1+y' \Rightarrow y'=-\frac{5}{3}

Calculando a reta tangente teremos:

y-y_0=y'(x-x_0) \Rightarrow y=-\frac{5}{3}(x-\frac{\sqrt{2}}{2}) \Rightarrow  y=-\frac{5}{3}x+\frac{5\sqrt{2}}{6}
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Re: Derivação implicita , quem ajuda ?

Mensagempor LuizAquino » Qua Mar 09, 2011 10:43

Adriano Tavares escreveu:y-y_0=y'(x-x_0) \Rightarrow y=-\frac{5}{3}\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

Correção:
y-y_0=y'(x-x_0) \Rightarrow y=-\frac{5}{3}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)
Editado pela última vez por LuizAquino em Qua Mar 09, 2011 22:02, em um total de 1 vez.
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Re: Derivação implicita , quem ajuda ?

Mensagempor Adriano Tavares » Qua Mar 09, 2011 21:56

Olá,LuizAquino.

Creio que não há erro nessa primeira correção,isso porque eu já coloquei o valor direto do resultado da tg45^\circ que é igual a 1.Note que no meu cálculo aperece o sen45^\circ e no seu apenas o valor do cos45^\circ.Quanto a segunda sim,pois, faltou atenção minha na hora de substituir o valor de x_0.Eu substitui o valor de x_0 pelo cos\frac{\pi}{4}.

Um abraço!
Adriano Tavares
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Re: Derivação implicita , quem ajuda ?

Mensagempor LuizAquino » Qua Mar 09, 2011 22:03

Olá Adriano Tavares,

Eu atualizei a mensagem removendo essa primeira "correção".
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}