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Derivação implicita , quem ajuda ?

Derivação implicita , quem ajuda ?

Mensagempor Loretto » Ter Ago 03, 2010 02:15

Seja y = f(x) definida implicitamente na equação sec² (x+y) - cos²(x-y) = 3/2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto ( Pi/4, O).

Parece que eu preciso aplicar a derivação na forma implicita. Mas eu ainda não entendi muito bem esse negócio de derivação implicita, alguém me pode dar uma boa explicação, ou mesmo me recomendar um bom site, preciso de ajuda !!!!!!!
Obrigado, vlw !! :idea: :idea: :idea:
Loretto
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Re: Derivação implicita , quem ajuda ?

Mensagempor Adriano Tavares » Qua Mar 09, 2011 00:36

Olá,Loreto.

sec^2(x+y)-cos^2(x-y)=\frac{3}{2}

Diferenciando ambos os membros em relação a x teremos:

2sec(x+y).sec(x+y).tg(x+y).(1+y')-[2cos(x-y).(-sen(x-y).(1-y')]=0

2sec^2(x+y)tg(x+y).(1+y')=-2cos(x-y).sen(x-y).(1-y')\\\\ \frac{1+y'}{1-y'}=-2\left(\frac{cos(x-y).sen(x-y)}{2sec^2(x+y).tg(x+y)}\right)

Substituindo os valores de x e y teremos:

\frac{1+y'}{1-y'}=-\frac{cos45^\circ.sen45^\circ}{sec^2 45^\circ .tg 45^\circ} \Rightarrow \frac{1+y'}{1-y'}=-\frac{cos 45^\circ.sen 45^\circ}{\frac{1}{cos^2 45^\circ}}}\\\\\frac{1+y'}{1-y'}=-sen45^\circ.cos^3 45^\circ \Rightarrow \frac{1+y'}{1-y'}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3\\\\\frac{1+y'}{1-y'}=-\frac{1}{4} \Rightarrow 4y'+4=-1+y' \Rightarrow y'=-\frac{5}{3}

Calculando a reta tangente teremos:

y-y_0=y'(x-x_0) \Rightarrow y=-\frac{5}{3}(x-\frac{\sqrt{2}}{2}) \Rightarrow  y=-\frac{5}{3}x+\frac{5\sqrt{2}}{6}
Adriano Tavares
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Re: Derivação implicita , quem ajuda ?

Mensagempor LuizAquino » Qua Mar 09, 2011 10:43

Adriano Tavares escreveu:y-y_0=y'(x-x_0) \Rightarrow y=-\frac{5}{3}\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

Correção:
y-y_0=y'(x-x_0) \Rightarrow y=-\frac{5}{3}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)
Editado pela última vez por LuizAquino em Qua Mar 09, 2011 22:02, em um total de 1 vez.
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Re: Derivação implicita , quem ajuda ?

Mensagempor Adriano Tavares » Qua Mar 09, 2011 21:56

Olá,LuizAquino.

Creio que não há erro nessa primeira correção,isso porque eu já coloquei o valor direto do resultado da tg45^\circ que é igual a 1.Note que no meu cálculo aperece o sen45^\circ e no seu apenas o valor do cos45^\circ.Quanto a segunda sim,pois, faltou atenção minha na hora de substituir o valor de x_0.Eu substitui o valor de x_0 pelo cos\frac{\pi}{4}.

Um abraço!
Adriano Tavares
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Re: Derivação implicita , quem ajuda ?

Mensagempor LuizAquino » Qua Mar 09, 2011 22:03

Olá Adriano Tavares,

Eu atualizei a mensagem removendo essa primeira "correção".
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?