Problema de Maximização

por **Fernandobertolaccini** » Ter Out 28, 2014 21:52

José comprou uma Smart TV nova, 4K, para assistir à Copa do Mundo. A TV tem uma altura de 0,5m e vai ser colocada a 4m de distância dos olhos de José, quando ele estiver sentado confortavelmente em seu sofá, xingando aqueles milionários que estão jogando vezes o que deveriam para ganhar a copa (? -> 0). Sabendo que os olhos de José, ao sentar-se, estão a 1,5m de altura do solo e num nível entre os bordos inferior e superior da TV, a que altura do solo deve ser colocada a TV para que o ângulo de visão de José seja máximo?

por **Russman** » Qua Out 29, 2014 03:56

Olhando na figura fica claro que H=h+x

, onde

é a altura da TV com relação ao solo e

a altura dos olhos da pessoa om relação ao mesmo.. Portanto, uma vez calculado

seremos capazes de calcular

. Assim, nossa busca será o de calcular o ângulo $\alpha$ em função de

a fim de estudar a correspondente maximização.

É possível notar que $\tan(\alpha + \theta) = \frac{t+x}{D}$ da mesma maneira que $\tan(\theta) = \frac{x}{D}$ . Assim, como

$\tan(a+b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1-\tan(a) \tan(b)}$

então

$\tan(\alpha + \theta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\theta)}{1-\tan(\alpha) \tan(\theta)} \Rightarrow \frac{t+x}{D} = \frac{\tan(\alpha)+ \frac{x}{D}}{1-\frac{x}{D}\tan(\alpha)}$

A solução desta equação(que expressa o ângulo $\alpha = \alpha(x)$ ) é

$\alpha(x) = \tan^{-1}\left ( \frac{Dt}{D^2-tx-x^2} \right )$

Agora, sabemos que

extremiza $\alpha(x)$ se $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \alpha(x) = 0$ . Assim, como $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \tan^{-1}(x) = \frac{1}{1+x^2}$ então, aplicando a regra da cadeia, vem que

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \alpha(x) = \frac{\mathrm{d}\tan^{-1}(f(x)) }{\mathrm{d} f(x)} \frac{\mathrm{d}f }{\mathrm{d} x}$

onde $f(x) = \frac{Dt}{D^2-tx-x^2}$ .

Daí, $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \alpha(x) = 0$ implica em $\frac{\mathrm{d}f }{\mathrm{d} x} = 0$ já que $\frac{\mathrm{d}\tan^{-1}(f(x)) }{\mathrm{d} f(x)} = \frac{1}{1+f^2}$ nunca se anula.

Agora, note que $f(x) =\frac{ Dt}{p(x)}$ onde p(x) = D^2 - tx-x^2

. Assim, para calcular a solução de $\frac{\mathrm{d}f }{\mathrm{d} x} = 0$ basta tomar

$f(x)p(x) = Dt\Rightarrow \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( f(x)p(x) \right ) = 0 \Rightarrow p(x)\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x} + f(x)\frac{\mathrm{d} p(x)}{\mathrm{d} x}=0\Rightarrow f(x)\frac{\mathrm{d} p(x)}{\mathrm{d} x} = 0$

Como f(x)

nunca se anula a solução vem com $\frac{\mathrm{d} p(x)}{\mathrm{d} x} = 0$ . Ou seja,

$-t-2x=0 \Rightarrow x=-\frac{t}{2}$

O fato de x<0

mostra que a TV deve estar a uma altura menor do que a propria altura dos olhos do assistente.

Agora, a altura referente ao solo que a TV deve estar é $H=x+h = h-\frac{t}{2} = 1,5-0,25=1,25 \mbox{ } m$ .

Em outras palavras, a TV deve situar-se sempre a uma altura equivalente a altura dos olhos do assistente menos metade do comprimento da própria TV. Note q a distância da TV ao assistente é irrelevante.

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