Pessoal, estou tentando provar o resultado de um limite pela sua definição, no entanto, só consigo fazer para no máximo funções de segundo grau, e eu gostaria de saber as manipulações necessárias para uma de terceiro. Vejam o raciocínio base para uma de segundo:
Provar, pela definição, que
Para que isso seja verdade, por definição, deve
Vê-se que caso uma constante for encontrada, poderemos fazer
, de modo a conjecturar um valor para
Como queremos um pequeno, podemos supor que , e, através de algumas manipulações,
Portanto, encontramos um valor adequado; no entanto, adquirimos duas restrições para , quais sejam:
e
E, como , os dois valores sugestivamente parecem ser adequados para ; assim, para satisfazer as duas equações, conjecturamos .
Pois bem, no entanto, queremos a recíproca destas conclusões, analisamos-a:
Dado e , temos que:
Se :
Se :
Nesse caso, vemos que:
Assim, por definição, o limite sumariamente exposto é verdadeiro.
Agora vejamos para uma função do 3º grau:
Prove, pela definição, que
Isto é verdade, por definição, como anteriormente exposto, se, e somente se,
Vemos que |x^3 - 8| < |x-2||x^2+2x+4|, ou seja, se acharmos um , poderemos fazer:
E a partir daí seguir como feito no exemplo anterior.
Eu gostaria de supor que , mas não consegui isolar a partir daí... alguém pode me explicar como fazê-lo? Agradeço sugestões...