[Limites] Limites exponenciais com euler.

por **yuricastilho** » Ter Abr 15, 2014 14:30

Não consegui resolver os seguintes limites da seção 6.3 do livro de Guidorizzi.
1.a) $\lim_{x \rightarrow + \infty}(1 + \frac2x)^x$

1.c) $\lim_{x \rightarrow + \infty}(1 + \frac{1}{2x})^x$

1.e) $\lim_{x \rightarrow + \infty}(\frac{x+2}{x+1})^x$

3.b) $lim_{x \rightarrow 0+} (\frac{e^{x^{2}} -1}{x})^x$ cuidado para NÃO CONFUNDIR com $lim_{x \rightarrow 0+} (\frac{e^{2x} -1}{x})^x$ (esse eu já sei resolver)

Se alguém puder me ajudar...

por **e8group** » Dom Abr 27, 2014 20:03

Vou lhe dar uma dica mais geral que resolver todos itens (exceto o último )

Considere

qualquer número real não nulo , o limite lim(1+m/x)^x

vale $e^{mx}$ (podendo $x\to +\infty$ quanto a $-\infty$ )
De fato , deixe m/x = 1/u

e com isso x = mu

. Quando $|x |\to +\infty$ temos que |u|

também tende a $+\infty$ .Das duas uma , $u\to +\infty$ ou $u \to -\infty$ ( o sinal de

que diz isso ) e assim $lim(1+m/x)^x = lim(1+ 1/u)^{mu} = \left[ lim(1+1/u)^u \right]^m$ . Por definição lim(1+1/u)^u = e

(podendo $u\to +\infty$ quanto a $-\infty$ ) . Daí , o limite de expressões da forma (1+m/x)^x

( $x \to \pm \infty$ ) terá sempre como resultado $e^{m}$ .

Agora caculemos o limite de funções racionais da forma $\frac{x+b}{x+d}$ elevado a x ,
Novamente para simplificar usamos apenas lim( ...) para designar $\lim_{x\to \pm \infty} (...)$ .
Segue $\left(\frac{ x+b }{x + d }\right)^x = \left(\frac{ x+ d - d + b }{x + d }\right)^x = \left(\frac{( x+ d) + (- d + b) }{x + d }\right)^x = \left(1 +\frac{ (- d + b) }{x + d }} \right)^x =$ .

i) Defina b-d = m

e

. Quando $|x| \to + \infty$ temos que $|u| \to +\infty$ e

$lim\left(1 +\frac{ (- d + b) }{x + d }} \right)^x = lim\left(1 +\frac{m }{x + d }} \right)^x = lim\left(1 +\frac{m }{u }} \right)^{u -d} = lim\left(1 +\frac{m }{u }} \right)^{u} \cdot lim\left(1 +\frac{m }{u }} \right)^{-d} =lim\left(1 +\frac{m }{u }} \right)^{u} \cdot 1 = e^m = e^{b-d}$ (utilizando o resultado anterior)

Obs.: Uma questão para cada tópico .