[Integral de fração racional] Deduza uma formiula para:

por **Job1992** » Ter Nov 26, 2013 22:29

Deduza uma formula para integral $f(x)=\int_ \frac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^n}dx$ , com b^2-4c<0

Obs: Isso vai chegar em uma formula de recorrencia.

por **e8group** » Sáb Nov 30, 2013 21:27

Vamos trabalhar no denominador ,

$q(x) := ax^2+bx+ c = a(x + \frac{b}{2a})^2 + c - \frac{b^2}{4a} = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac-b^2}{4ac}$ (1) . Dividimos q(x)

por

:

$\frac{q(x)}{a} = (x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac-b^2}{4a^2c}$ . (2)

Agora para simplificar as notações definamos $e = \frac{b}{2a}$ e $g = \frac{4ac-b^2}{4a^2c}$ (3) . Assim ,temos

$\frac{q(x)}{a} = (x + e)^2 + g$ (4) e dividindo-se ambos lados por

,

$\frac{q(x)}{ag} = \left(\frac{x+e}{\sqrt{g}}\right)^2 + 1$ (5) ou ainda por mudança de variável $\frac{x+e}{\sqrt{g}} = t$ (6) ,

$\frac{q(x)}{ag} = t^2 + 1$ (7) . Veja o que conseguimos até agora ,

$\frac{Ax+B}{(q(x))^n} = \frac{Ax+B}{(ag\dfrac{q(x)}{ag})^n} = \frac{1}{(ag)^n} \left(A \frac{x}{\left( \dfrac{q(x)}{ag}\right )^n} + \frac{B}{\left( \dfrac{q(x)}{ag}\right )^n} \right )$ (8)

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 5 : 791x83] . (9) .

Considere $L_1 =\int\frac{x}{\left( \dfrac{q(x)}{ag}\right )^n}dx$ e $L_2 = \int \frac{1}{\left( \dfrac{q(x)}{ag}\right )^n} dx$ (10) .

A derivada de (6) nos dá $\frac{1}{g^{1/2}}dx = dt \implies dx = g^{1/2} dt$ e escrevendo

como função de

em (6) , $x = g^{1/2} t -e$ ,utilizando estas relações em (10), segue

$L_1 = g \int\frac{g^{1/2} t-e}{\left( t^2+1\right)^n}dt = g^{3/2} \int \frac{t}{(t^2+1)^n} dt - ge \int \frac{1}{(t^2+1)^n} dt$ . A primeira integral sabemos calcular , qual a resposta ? Já a segunda é mais trabalhosa .

Defina $I_n = \int \frac{1}{(t^2+1)^n}$ .Usando integração por partes podemos obter a fórmula(tente fazer )

$I_n = \frac{t}{2(n-1)(t^2+1)^{n-1}} + \frac{2n-3}{2(n-1)} I_{n-1}$ .

Desta forma L_1