Integrais por substituição trigonométrica

por **Victor Mello** » Seg Nov 11, 2013 23:13

Galera, eu estava tentando integrar $\int\frac{dx}{\sqrt[]{4x^2-49}}$ e tudo estava dando certo. Usei $x=7sec\theta$ e $sec\theta=\frac{x}{7}$ (para servir de referência para o final da resolução). Derivei o $x=7sec\theta$ e substitui o dx. Aí ficou assim:

$\int\frac{7sec\theta tg\theta d\theta}{\sqrt[]{196sec^2\theta-49}}$

$\int\frac{7sec\theta tg\theta d\theta}{\sqrt[]{49(4sec^2\theta-1)}}$

$\int\frac{7sec\theta tg\theta d\theta}{\sqrt[]{49}*\sqrt[]{4sec^2\theta-1}}$

$\int\frac{sec\theta tg\theta d\theta}{\sqrt[]{4sec^2\theta-1}}$ = OBS: eu tinha cancelado o 7 como termo unitário por causa da raíz quadrada de 49

A partir daqui virou outro problema: eu preciso agora de uma outra substituição e chamei o $sec\theta = u$ e derivei ela para subistituir o $sec\theta tg\theta d\theta = du$ e assim ficou:

$\int\frac{du}{\sqrt[]{4u^2-1}}$ e fatorei o 4u^2-1

$\int\frac{du}{\sqrt[]{(2u-1)(2u+1)}}$ =

$\int\frac{du}{\sqrt[]{2u-1}\sqrt[]{2u+1}}$ =

$\int\frac{du}{\sqrt[]{2u-1}} *\frac{1}{\sqrt[]{2u+1}}$ =

E parei aqui. Não tem como mais integrar pela substituição simples e muito menos por partes por causa da raíz do denominador na integral antes de eu fazer por substituição simples. Alguém poderia sugerir qual a substituição mais adequada depois da trigonométrica? Por muito pouco eu não consegui integrar *-)

Bom, espero que vocês tenham compreendido o meu raciocínio e se puderem me ajudar, eu agradeço

Obrigado.

por **e8group** » Ter Nov 12, 2013 20:55

Atenção com a identidade $sec^2 \theta = 1 + tan^2 \theta$ o que implica $sec^2 \theta - 1 = tan^2\theta$ . Agora note $\sqrt{4x^2 - 49} = \sqrt{49(\frac{4}{49}x^2 -1)} = 7 \sqrt{ \left(\frac{2}{7}x\right)^2 - 1}$ . Faça uma comparação deste resultado com a outra relação .Qual substituição deve tomar de modo escrever $\left(\frac{2}{7}x\right)^2 - 1$ como $sec^2 \theta - 1$ ?

por **Victor Mello** » Ter Nov 12, 2013 22:43

Já tinha percebido isso antes de você comentar rsrsrsrsrs, sempre esqueço de um detalhe que faz toda a diferença, não sei como. Agora não posso mais esquecer. :-D