PARAMETRIZAÇÃO DE CURVAS

por **sasuyanli** » Sáb Out 26, 2013 12:14

Uma haste presa na origem do plano xy, ocupa a posição da reta x=ty. A haste intercepta a reta y=4 no ponto S e a elipse 4x²+(y-2)²=4 no ponto Q. Quando t varia, o vértice P do triângulo retângulo QPS descreve uma curva.

a) Escreva equações paramétricas dessa curva, em função do parâmetro t.

Não consegui chegar no resultado do gabarito dessa questão.
Fiz o seguinte:
Se y=4 e x=yt, então x(t)=4t.

E se a equação da elipse é definida por:
$[tex]4x^2+(y-2)^2=4\Rightarrow x^2+\frac{(y-2)^2}{4}=1\Rightarrow y^2t^2+\frac{y^2-4y+4}{4}=1\Rightarrow 4y^2t^2 + y^2- 4y +4 = 4 \Rightarrow 4y^2t^2 + y^2- 4y=0\Rightarrow y =\frac{x}{t} \Rightarrow \frac{x^2}{t^2} + 4x^2 - 4\frac{x}{t}=0 \Rightarrow x\left(\frac{x}{t^2} + 4x - \frac{4}{t} \right)=0 \Rightarrow \frac{x}{t^2} + 4x - \frac{4}{t}=0 \Rightarrow x\left(4+\frac{1}{t^2} \right)=\frac{4}{t} \Rightarrow x= \frac{4}{t}\ \times \frac{1}{\left 4t^2+1 \right} \Rightarrow y =\frac{4}{1+4t^2}$

Porém, no gabarito a equação paramétrica da curva é $4t, \frac{4}{4+4t^2}$
Gostaria de uma ajuda para saber onde errei.
Obrigada.

por **e8group** » Dom Nov 03, 2013 14:31

Também estou com a mesma dúvida ,resolvi este exercício da seguinte forma :

Supondo que a curva

(obtida pelo deslocamento do vértice P) tenha uma parametrização dada por $\sigma : t \mapsto \sigma(t) = (x(t),y(t))$ . Como o ponto

pertence simultaneamente a elipse e a reta yt=x

dada .Então , fazendo as contas conforme você fez , vamos obter $Q = ( \frac{4t}{1+4t^2} , \frac{4}{1+4t^2} )$ . Ora , os pontos Q,S,P

estão variando em conjunto de modo a preservar a ortogonalidade entre $\vec{PS}$ e $\vec{PQ}$ (estou utilizando este argumento para utilizar o próximo resultado afirmando que as ordenadas entre P,Q são iguais ) à medida que