Integrais Triplas

por **nakagumahissao** » Qui Ago 15, 2013 11:04

Pessoal, não consegui resolver esta questão. Apenas consegui o esboço do gráfico que se trata de uma esfera e de um cone. O cone limita a parte inferior e parte da esfera, o limite superior.

Poderiam me ajudar por favor? A questão é a seguinte:

Calcule a integral:

${I}_{4} = \int_{R}^{}\int_{}^{}\int_{}^{}z\sqrt[]{{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}} dV$

Onde R é a região limitada por:

$z = \sqrt[]{2 - {x}^{2} - {y}^{2}}$

e

$z = \sqrt[]{{x}^{2} + {y}^{2}}$

Tentei utilizar coordenadas esféricas, mas obtive uma coisa muito complicada de se resolver. Alguém saberia resolver esta questão?

por **young_jedi** » Sex Ago 16, 2013 15:51

minha sugestão é uma mudança para coordenadas polares

ai teríamos que

x^2+y^2=r^2

e

$z=\sqrt{r^2}=r$

então a integral ficaria

$\int^{2\pi}_{0}\int_{0}^{1}\int_{r}^{\sqrt{2-r^2}}z.\sqrt{r^2+z^2}dz.r.dr.d\theta$

por **nakagumahissao** » Sex Ago 16, 2013 16:35

Young_Jedi,

Vou tentar com polares, apesar de que o exercício foi dado para utilizarmos as coordenadas esféricas ou cilíndricas. Qualquer dúvida volto aqui novamente. Por enquanto, muitíssimo obrigado pela sua resposta.

por **mecfael** » Dom Ago 18, 2013 00:43

Vamos usar coordenadas Cilíndricas para montar a integral, como temos uma região compreendida entre dois sólidos:

Onde o sólido de baixo $z=\sqrt{(x^2+y^2)}$ (cone)

E o sólido de cima é $z=\sqrt{2-(x^2+y^2)}$ (esfera na origem de raio r²=2)

E a intersecção é igual a:

$z=z\therefore \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{2-(x^2+y^2)}\therefore x^2+y^2=1$

Uma circunferencia de raio r=1 no plano z=1, ou seja, as região será dividida da origem entre a parte do cone $z=\sqrt{x^2+y^2}$ até z=1, e de z=1 até
a esfera $z=\sqrt{2-(x^2+y^2)}$
Então as regiões em coordenadas cilindricas $r, \theta, z$ e $dV=rdrd\theta dz$ e x^2+y^2=r^2

temos:
$R_1:\begin{Bmatrix}0\leq r\leq z \\ 0\leq \theta \leq 2\pi \\ 0\leq z \leq 1 \end{Bmatrix}$

e

$R_2=\begin{Bmatrix}0\leq r \leq \sqrt{2-z^2} \\ 0 \leq \theta \leq 2\pi \\ 1 \leq z \leq \sqrt{2} \end{Bmatrix}$

Os limites de R1 são os mesmos do cone, então é inútil explicar como achei, os limites de R2 temos que $z=\sqrt{2-r^2}$ então se isolar o r temos que $r=\sqrt{2-z^2}$ e verificamos que é verdade, pois em z=1, temos que o r=1 pois estamos na fronteira entre os dois sólidos que é a circunferência de raio r=1, e $z=\sqrt{2}$ temos que r=0, pois é o máximo da região R2, agora que achamos R1 e R2 vamos montar a integral I dividida entre duas regiões:

I=I_1+I_2

$I_1=\iiint_{R1}z\sqrt{r^2+z^2}rdrd\theta dz=\int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{z} zr\sqrt{r^2+z^2}drd\theta dz$
$I_2=\iiint_{R2}z\sqrt{r^2+z^2}rdrd\theta dz=\int_{1}^{\sqrt{2}} \int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{\sqrt{2-z^2}} zr\sqrt{r^2+z^2}drd\theta dz$

Essas integrais se resolvem com substituição simples fazendo $u=r^2+z^2 \therefore du=2rdr$ e de forma análoga para a variável z.

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