[maximos e minimos] Problemas de minimos e maximos

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[maximos e minimos] Problemas de minimos e maximos

Mensagempor amigao » Seg Jun 24, 2013 22:28

Não consegui fazer. Como começo.

Considere a curva y=1-x^2 , 0\leq x \leq1. Traçar uma tangente a curva tal que a area do triangulo que ela forma com os eixos coordenados seja minima.

agradeço.
amigao
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Re: [maximos e minimos] Problemas de minimos e maximos

Mensagempor young_jedi » Ter Jun 25, 2013 17:49

primeiro calculando a derivada pra achar o coeficiente angular da reta tangente temos

f'(x)=-2x

vamos supor que a reta seja tangente a parábola em um ponto x=a sendo assim o coeficiente sera

-2a

e

y=1-a^2

portanto a equação da reta sera

\frac{y-(1-a^2)}{x-a}=-2a

y=-2a(x-a)+1-a^2

y=-2ax+a^2+1

agora encontrando os pontos onde ela cruza nos eixos

y_0=-2a.0+a^2+1

y_0=a^2+1

e

0=-2ax_0+a^2+1

x_0=\frac{a^2+1}{2a}

a área sera dada por

A=\frac{x_0.y_0}{2}=\frac{(1+a^2)(1+a^2)}{4a}=\frac{(1+a^2)^2}{4a}

derivando com relação a a para encontra o valor de máximo

A'=\frac{4a(1+a^2)}{4a}-\frac{(1+a^2)^2}{4a^2}


A'=\frac{3a^4+2a^2-1}{4a^2}=0

portanto

3a^4+2a^2-1=0

dai tiramos

a^2=\frac{1}{3}

a=\pm\frac{1}{\sqrt3}

com isso você determina a reta
young_jedi
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]

Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!

Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}

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