[Limite] Demonstração de um limite

por **Fabio Marquez** » Ter Mai 14, 2013 11:30

Olá pessoal, tudo bem? Então, estou com um problema para demonstrar que $\lim_{x\rightarrow0} \frac{a^x-1}{x} = ln a$ . Eu comecei fazendo u=a^x-1

e achei $x = \frac{lnu+1}{lna}$ , mas não consegui avançar até ln a, como posso provar isso? (lnu e lna são logaritmos naturais)

por **Man Utd** » Ter Mai 14, 2013 21:27

olá.
usando substituição:
$\\\\ u=a^{x}-1 \\\\ a^{x}=u+1 \\\\ ln a^{x}=ln(1+u) \\\\ x.ln a=ln(1+u) \\\\ x=\frac{ln(1+u)}{ln a}$

agora aplicando no limite:
$\\\\ \lim_{u\rightarrow 0}\frac{u}{\frac{ln(1+u)}{lna}} \\\\\\ \lim_{u\rightarrow 0}\frac{lna*u}{ln(1+u)} \\\\\\ \lim_{u\rightarrow 0}{\frac{lna*u:u}{ln(1+u):u} \Rightarrow \lim_{u\rightarrow 0}\frac{lna}{\frac{ln(1+u)}{u}} \Rightarrow \lim_{u\rightarrow 0}\frac{lna}{\frac{1}{u}*ln(1+u)}}$
$\\\\ \lim_{u\rightarrow 0}\frac{lna}{ln(1+u)^{\frac{1}{u}}}} \\\\\\ \frac{\lim_{u\rightarrow 0}lna}{\lim_{ u\rightarrow 0}{ln(1+u)^{\frac{1}{u}}}} \\\\\\ \frac{lna}{ln(\lim_{ u\rightarrow 0}{(1+u)^{\frac{1}{u}})}} \\\\\\ \frac{lna}{lne}=lna$