[DERIVADA DE 2ª ORDEM] FORMA PARAMÉTRICA

por **fabriel** » Sex Mai 03, 2013 12:59

Oi pessoal to com uma duvida no resultado aqui:
Exercicio: Seja C a curva com parametrização $x=e^{-t}$ , $y=e^{2t}$ ; $t\in R$ determine $\frac{dy}{dx}$ e $\frac{{d}^{2}y}{{dx}^{2}}$
Eu resolvi da seguinte maneira:

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{{2e}^{2t}}{{-e}^{-t}}$

$\frac{{d}^{2}y}{{dx}^{2}}=\frac{\frac{d}{dt}\left({2e}^{2t} \right)}{\frac{d}{dt}\left({-e}^{-t} \right)}= \frac{4{e}^{2t}}{{e}^{-t}}={4e}^{3t}$

Até ai sem nenhum problema mas veja, se eu tivesse pegado a $\frac{dy}{dx}=\frac{{2e}^{2t}}{-{e}^{-t}}=-2{e}^{3t}$ e logo em seguida derivasse isso olha o que aconteceria

$\frac{{d}^{2}y}{{dx}^{2}}= -6{e}^{3t}$

Que no caso é diferente do resultado que obtive na primeira resolução da derivada segunda, qual é que esta errada?

por **young_jedi** » Dom Mai 05, 2013 19:02

você teria que

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{2e^{2t}}{-e^{-t}}\right)}{-e^{-t}}$

tente concluir e comente as duvidas

por **fabriel** » Seg Mai 06, 2013 01:41

Não entendi muito bem essa passagem

young_jedi escreveu:você teria que

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{2e^{2t}}{-e^{-t}}\right)}{-e^{-t}}$

tente concluir e comente as duvidas

é muito confusa a derivada de funções dada na forma paramétrica, quando se trata na derivada de 2ª ordem pra frente

Mas se isso for o correto, então a resposta seria: $\frac{\frac{{4e}^{2t}}{{e}^{-t}}}{{-e}^{-t}}=-4{e}^{4t}$

Que é bem diferente das respostas que obtive antes.

por **young_jedi** » Seg Mai 06, 2013 21:55

note que

$\frac{d}{dt}\left(\frac{2e^{2t}}{-e^{-t}}\right)=\frac{4e^{2t}}{-e^{-t}}+\frac{2e^{2t}}{-e^{-t}}$

$=\frac{6e^{2t}}{-e^{-t}}=-6e^{3t}$

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