[variação de funções] raiz real

[Erickvilela]

entao, estou tentando fazer uma questão do livro de guidorizzi de calculo I, entretanto não estou conseguindo
gostaria de pedir ajuda.

a questão é : Prove que a equação x^3 _ 3x^2 + 6 = 0 admite uma unica raíz real. Determine um intervalo de amplitude 1 que contenha tal raiz.

como faço ?

[e8group]

Boa noite ,já tentou analisar os intervalos de crescimento e de decrescimento de através de ?
Após isto conclua então que pelo TVI existe um em tal que (OBS.: f é contínua )

[Erickvilela]

mas tipo, quando eu calculo f ' , vou ter:
3x^2 - 6x = 0, então x=2 e x=0, logo, os intervalos de crescimento e decrescimento vão ser:

cresce em ]-? , 0] e [2, +?[ ; e decresce em [0,2], mas como encontro o intervalo das raízes ?

[e8group]

Considerando

Temos é estritamente crescente em e e decrescente .

Vamos verificar em cada intervalo se há pelo menos um em algum deles tal que .

(1)

Como , o termo dominante, possui grau impar ,

e

como

Assim ,existem tais que e .Como é contínua (Porque ? ) ,pelo TVI existe tal que .


(2)

Como e (Porque ?),concluímos que pelo TVI não existe em tal que .

(3)

Segue de imediato de (1) e (2) que e são ambos postivos ,sendo assim, , ou seja , não existe em tal que .


Conclusão : admite uma única raiz real ,pois, como já mencionado acima é estritamente crescente em .



Para determinarmos o intervalo de amplitude 1 que contenha ,

veja que e ;assim .

Espero que ajude .

Editado erro de digitação .