[Limite] limite trigonometrico

por **Ge_dutra** » Qua Jan 30, 2013 23:38

Boa noite, peço auxilio para resolver uma questão:

$\lim_{x\rightarrow0}senx.cos\left(\frac{1}{x} \right)$

O gabarito é zero, porém, penso que o argumento do cosseno, quando x tender a zero, vai tender ao infinito, portanto não existindo.
Então não existiria também a multiplicação de zero(senx) por um cosseno não existente.

Gostaria de saber se estou pensando errado, ou se tenho que reescrever o limite, de modo a não modificá-lo.

Desde já, agradeço.

por **e8group** » Qui Jan 31, 2013 15:01

Basta notar que a função cosseno é limitada i.e., $\forall x \in \mathbb{R} - \{0\} \implies | cos(1/x)| \leq 1$ .Portanto ,tome o produto dos limites e conclua que o limite do seno é zero.

Outra forma seria estabelcer uma desigualdade entre funções de forma que os limites dos extremos existam e sejam iguais e aplicar o teorema do confronto
Para obter isto , inicialmente vamos considerar g(x) = sin(x)

e

. Veja porque , $1 \geq cos(1/x) \geq -1 , \forall x \in \mathbb{R}- \{0\}$ .Multiplicando-se a desigualdade por $sin(x) , x \neq 0$ ,temos :

$sin(x) \geq sin(x) cos(1/x) \geq - sin(x)$ e como $\lim_{x\to0} g(x) = \lim_{x\to0} h(x) = 0$ pelo
teorema do confronto concluímos que $\lim_{x\to0} sin(x) cos(1/x) = 0$ .

por **Ge_dutra** » Qui Jan 31, 2013 22:30

santhiago escreveu:Basta notar que a função cosseno é limitada i.e., $\forall x \in \mathbb{R} - \{0\} \implies | cos(1/x)| \leq 1$ .Portanto ,tome o produto dos limites e conclua que o limite do seno é zero.

Outra forma seria estabelcer uma desigualdade entre funções de forma que os limites dos extremos existam e sejam iguais e aplicar o teorema do confronto
Para obter isto , inicialmente vamos considerar e . Veja porque , $1 \geq cos(1/x) \geq -1 , \forall x \in \mathbb{R}- \{0\}$ .Multiplicando-se a desigualdade por $sin(x) , x \neq 0$ ,temos :

$sin(x) \geq sin(x) cos(1/x) \geq - sin(x)$ e como $\lim_{x\to0} g(x) = \lim_{x\to0} h(x) = 0$ pelo
teorema do confronto concluímos que $\lim_{x\to0} sin(x) cos(1/x) = 0$ .

Acho que entendi, obrigada.

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