[Calculo 1] Máximos e mínimos de uma função

por **LuisLemos** » Qua Jul 27, 2016 21:27

Boa noite, não estou conseguindo entender como encontrar o máximo e o minimo global de uma função, após ter encontrado o máximo e o minimo local. Como exemplo, estou colocando uma questão que tentei resolver:

Determine os pontos de máximo e mínimo locais da função $f(x) = x^2e^{-x}$ , dizendo quais destes pontos são máximos ou mínimos globais.

O que eu fiz para encontrar os pontos de mínimo locais:

1º - Derivei a função:
$f(x) = x^2e^{-x}$
$f'(x) = e^{-x}(2x+x^2)$

2º - Igualei a função a zero para encontrar os pontos críticos:
$e^{-x}(2x+x^2)=0$
Como $e^{-x}$ é sempre positivo, a função só poderá ser zero quando

. Portanto as raízes dessa expressão (-2 e 0) serão os pontos críticos.

3º - Calculei a f'(x) para -3 , -1 e 1 para saber se a função é crescente ou decrescente antes e depois dos pontos críticos.

f'(-3) = 3e^3

(positivo)
f'(-1) = -e

(negativo)
$f'(1) = 3e^{-1}$ (positivo)

4º - Determinei os pontos de mínimo e máximo locais:

Como a função é crescente antes de -2 e decrescente após o -2, logo ele é um ponto de máximo local.
E como a função é decrescente antes do 0 e crescente após 0 , ele é um ponto de mínimo local.

A partir de agora eu não sei o que devo fazer para encontrar os pontos de máximo e mínimo globais, caso existam.
Obs: O gabarito da questão informa que a função não possui máximo global e que o ponto 0 é mínimo global.

por **Daniel Bosi** » Qua Jul 27, 2016 23:21

Olá LuisLemos.

Primeiramente, muito obrigado por ter postado a sua resolução de forma completa. :y:

Você cometeu um erro de sinal no momento de derivar. Perceba que quando derivamos ${e}^{-x}$ pela regra $\frac{d}{dx}\left({e}^{u} \right)={e}^{u}\cdot{u'}$ obtemos ${-e}^{-x}$ .

Assim, derivando $f(x) = x^2e^{-x}$ pela regra do produto:

$f'(x)=2x{e}^{-x}-{x}^{2}{e}^{-x}={e}^{-x}(2x-{x}^{2})$

Assim, as raízes de $2x-{x}^{2}$ são 0 e 2.

Substituindo -1, 1 e 3 na derivada:

f'(-1) = -3e

(negativo, portanto decrescente)

$f'(1) = \frac{1}{e}$ (positivo, portanto crescente)

$f'(3) = \frac{-3}{{e}^{3}}$ (negativo, portanto decrescente)

OBS.: Essa parte $(2x-{x}^{2})$ da derivada da função original que usamos para encontrar os pontos críticos é uma parábola. Nos intervalos onde esta parábola tem imagem negativa, a função original é decrescente. No intervalo onde esta parábola tem imagem positiva, a função original é crescente. O ${e}^{-x}$ que multiplica $(2x-{x}^{2})$ na derivada não muda os pontos críticos nem o sinal da imagem, embora mude a função. Mas uma vez que o que nos interessa é analisar os pontos críticos e o sinal da imagem, convém considerar apenas a parte $(2x-{x}^{2})$ por ser mais simples.

A partir dessa análise você já pode ter uma ideia de que 0 é um mínimo e 2 é um máximo. Como saber se eles são locais ou globais?

Para responder a essa questão eu aconselho fazer uma avaliação da função original $f(x) = x^2e^{-x}$ .
Essa função claramente não pode assumir valores negativos (pois nem ${x}^{2}$ nem ${e}^{-x}$ podem ser negativos, independe do x; você consegue ver isso intuitivamente?), então é razoável dizer que a função $f(x) = x^2e^{-x}$ não pode ter imagem negativa. Se ela não pode ter imagem negativa, claramente 0 é um mínimo global.

Em relação ao ponto máximo 2, basta substituir um dos pontos usados para teste, -1 por exemplo, na função original $f(x) = x^2e^{-x}$ e perceber que o ponto -1 na função original dá a constante neperiana

, que é maior que 2. Portanto, 2 é máximo local.

Plotei a função original $f(x) = x^2e^{-x}$ (em verde) e a função $2x-{x}^{2}$ (em azul) no GeoGebra para você visualizar como todos esses pontos das funções se relacionam. Perceba como o gráfico verde muda a tendência de crescimento e decrescimento nas raízes da parábola azul (isto é, quando a imagem y da parábola muda de negativo para positivo e vice e versa).

Imagem

Qualquer dúvida volte a questionar.

por **LuisLemos** » Qui Jul 28, 2016 00:20

Nossa, obrigado pela resposta.

De fato eu errei o sinal na hora de derivar.

Pelo gráfico que você colocou eu consegui visualisar a relação entre a função não possuir imagem negativa com o zero ser mínimo global. Pois se a função não atinge valores menores que zero, ele será o menor valor da função. Sendo assim o mínimo global.

Em relação ao 2 ser somente máximo local. Você pegou um dos pontos utilizados para determinar os máximos e mínimos locais e substituiu na função original. Como o valor obtido foi maior que 2, então o 2 não poderia ser máximo global.

Em relação a isso eu fiquei com uma dúvida. Digamos que eu tenha uma outra função e que essa função possua vários pontos críticos. Eu teria que substituir vários pontos na função original para ter certeza que nenhum deles é superior ao ponto que eu encontrei como máximo local? ou teria uma forma mais prática de resolver?

por **Daniel Bosi** » Qui Jul 28, 2016 00:43

Vou pegar o caso desse exercício como base para responder a sua questão, e a partir disso podemos generalizar a ideia.

A partir da derivada e da análise dos pontos críticos, percebemos que a função decresce antes do zero, cresce no intervalo aberto de 0 a 2, e volta a decrescer após o 2.

Percebemos também que esta função não pode ter imagem negativa.

Se ela não pode ter imagem negativa e descobrimos que o 0 é mínimo global, sabemos que essa função tem 0 como elemento mínimo.

Sabemos que ela tem um mínimo. Mas será que ela tem um máximo?

Recapitulando, tudo que sabemos a partir dos pontos críticos e do sinal da derivada é que: ela decresce até o zero, cresce de 0 a 2, decresce a partir do 2.

O pulo do gato consiste em perceber que: se ela decresce até o 0 sem um ponto crítico nos números negativos, existe uma chance grande de haver valores maiores que o 2 antes do 0.

Se não há ponto crítico antes desse decrescimento, isso dá uma boa intuição que a função cresce sem limite quando x vai a $-\infty$ .

A estratégia é sempre testar valores que estão além dos pontos críticos "de fora", além de pensar sobre o comportamento geral da função.

Em caso de dúvidas estamos aí. :y: