[Calculo] Calcular a seguinte integral imprópria.

por **karenfreitas** » Qua Mai 04, 2016 14:36

Calcular o valor de A, onde A = $\frac{9a^2}{2}\int\limits_{0}^{\infty }\frac{x^2}{(1+x^3)^2}dx$

Usar x^3 = t

$\rightarrow 3x^2 dx = dt$
DEsde já agradeço quem puder ajudar a resolver esse problema.

por **nakagumahissao** » Sex Mai 06, 2016 00:54

$A = \frac{9{a}^{2}}{2}\int_{0}^{\infty} \frac{{x}^{2}}{{\left(1+{x}^{3} \right)}^{2}} dx\;\;\;\;\;\;\;[1]$

Fazendo-se a substituição:

${x}^{3} = t \Rightarrow dt = 3{x}^{2}dx$

para:

$x \neq 0$

e

$t \neq -1$

tem-se que:

$\frac{{x}^{2}}{{\left(1+{x}^{3} \right)}^{2}} dx = \frac{{x}^{2}}{{x}^{2}{\left(1+t \right)}^{2}} dt = \frac{1}{{\left(1 + t \right)}^{2}}dt$

a integral desta fração seria:

$\int \frac{1}{{\left(1 + t \right)}^{2}}dt$

utilizando-se da seguinte substituição

$u = 1 + t \Rightarrow du = dt$ ,

poderiamos resolver a integral acima da seguinte maneira:

$\int \frac{1}{{\left(1 + t \right)}^{2}}dt = \int \frac{1}{{u}^{2}}du = \int {u}^{-2}du = \frac{{u}^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3}\frac{1}{{u}^{3}} = -\frac{1}{3 {\left(1 + t \right)}^{3}} =$

Mas,

${x}^{3} = t$

Logo,

$= -\frac{1}{3 {\left(1 + t \right)}^{3}} = -\frac{1}{3 {\left(1 + {x}^{3} \right)}^{3}}\;\;\;\;\;\;[2]$

Finalmente, utilizando-nos dos conhecimentos de integrais impróprias e usando [2] em 1, teremos:

$A = \frac{9{a}^{2}}{2}\int_{0}^{\infty} \frac{{x}^{2}}{{\left(1+{x}^{3} \right)}^{2}} dx = \frac{9{a}^{2}}{2} \lim_{m\rightarrow \infty} \int_{0}^{m} \frac{{x}^{2}}{{\left(1+{x}^{3} \right)}^{2}} dx =$

$= \frac{9{a}^{2}}{2} \lim_{m\rightarrow \infty} \left[-\frac{1}{3 {\left(1 + {x}^{3} \right)}^{3}} {|}_{0}^{m} \right] = \frac{9{a}^{2}}{2}\left(-\frac{1}{3} \right) \lim_{m\rightarrow \infty} \left[-\frac{1}{{\left(1 + {x}^{3} \right)}^{3}} {|}_{0}^{m} \right] =$

$= -\frac{3{a}^{2}}{2} \lim_{m\rightarrow \infty} \left[-\frac{1}{{\left(1 + {x}^{3} \right)}^{3}} {|}_{0}^{m} \right] = -\frac{3{a}^{2}}{2}\left(-0 + 1 \right) = -\frac{3{a}^{2}}{2}$

Que é o resultado procurado, portanto:

$A = \frac{9{a}^{2}}{2}\int_{0}^{\infty} \frac{{x}^{2}}{{\left(1+{x}^{3} \right)}^{2}} dx = -\frac{3{a}^{2}}{2}$

Espero não ter errado nos cáculos, mas a idéia básica é essa.

[Calculo] Calcular a seguinte integral imprópria.

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Re: [Calculo] Calcular a seguinte integral imprópria.

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