Integral por partes ou substituição

por **Flavio Casaes** » Dom Fev 08, 2015 00:20

Boa noite pessoal, estou começando a estudar integrais e ainda não consegui assimilar um metodo básico e mais simples para optar entre a integração por partes ou substituição. Se alguem puder me ajudar quanto a isso eu agradeço.
Tenho um exemplo resolvido pelo professor que me deixou ainda mais confuso:

$\int(x-1)$

No caso dessa integral simples ele resolveu por partes usando: u = x - 1 e dx = dv, até ai beleza...mas o que eu não entendo é porquê eu não posso fazer por substituição usando u = x - 1 e du = dx daí eu teria $\int u du$ que é mais fácil de resolver.

por **nakagumahissao** » Dom Fev 08, 2015 21:51

Flávio,

Poder usar, você pode, porém seu professor está te passando um exemplo já conhecido, com uma técnica nova para que você perceba que os resultados serão os mesmos. Depois, quando você for resolver exercícios, você vai perceber que é muito mais prático resolver a questão usando esta nova técnica e que as outras aprendidas anteriormente podem até serem usadas e funcionar, mas darão muito mais trabalho, ou ainda, serem impossíveis de serem resolvidas com as técnicas anteriormente aprendidas.

No fim, depois que você aprender todas as técnicas de integração, você simplesmente vai usar aquela que achar mais fácil de se chegar à uma solução.

por **Flavio Casaes** » Dom Fev 08, 2015 23:09

Valeu pela resposta, mas eu perguntei porque eu tentei fazer por substituição mas não deu certo, favor da uma olhada e me sinaliza onde estou errando:

$\int (x-1)$

u = x - 1 e du = dx, $\int u du$ >>> $\frac{{u}^{2}}{2}$ >>> $\frac{{(x-1)}^{2}}{2}$ + C >>> $\frac{({x}^{2})-(2x)-({1}^{2})}{2} >>> \frac{{x}^{2}+1}{2} - x$ + C

ja na resolução do professor ele fazia por partes:

u=x-1, du=dx, dx=dv, x=v >>> I = (x-1) * x - $\int x dx$ >>> $(x-1) * x - \frac{{x}^{2}}{2}$ + C >>> ${x}^{2} - x - \frac{{x}^{2}}{2} + C$

Tentei simplificar os resultados pra chegar numa resposta em comum, mas minhas limitações matemáticas não permitiram. rs
Se alguém puder me ajudar dizendo onde eu estou errando, se é na operação matemática ou na integral, eu agradeço.

obs: Sei que a dúvida pra alguns pode significar ignorância da minha parte, uma vez que a questão é fácil, mas se entender o início vou poder partir pras mais dificeis e tentar resolver.

grato

por **nakagumahissao** » Dom Fev 08, 2015 23:36

Pode parecer estranho, mas os dois resultados que você encontrou são iguais, ou melhor, semelhantes e ambos, válidos!

Na sua primeira resolução, apesar do resultado correto, havia um erro de sinal em

-(1^2)

Que deveria ser positiva.

Seu resultado foi:

$\frac{x^2 + 1}{2} - x + C$

Vamos apenas reescrever esse resultado deuma outra forma, lembrando que, o resultado de uma integraçao indefinida nos dá a família de resultados:

$\frac{x^2 + 1}{2} - x + C = \frac{x^2 + 1 - 2x + 2C}{2}= \frac{x^2 - 2x + {C}_{1}}{2}$

Da segunda resolução, você chegou em

$x^2 - x - \frac{x^2}{2}+ C$

Que também podemos reescrever da seguinte maneira :

$x^2 - x - \frac{x^2}{2}+ C=\frac{2x^2 - 2x - x^2 + 2C}{2}$

$=\frac{x^2 - 2x + {C}_{2}}{2}$

Assim, as duas soluções são válidas e semelhantes

por **Flavio Casaes** » Seg Fev 09, 2015 09:55

Agradeço muito pela resposta cara, mas não intendi essa ultima simplificação:
$\frac{x^2 + 1 - 2x + 2C}{2}= \frac{x^2 - 2x + {C}_{1}}{2}$

Como o $\frac{1}{2}$ saiu ?

por **nakagumahissao** » Seg Fev 09, 2015 09:59

MMC. Minimo Múltiplo Comum nas frações

por **nakagumahissao** » Seg Fev 09, 2015 10:01

2C + 1 = C1

Note que apesar de C1 e C2 serem diferentes, isso não tem grande importância pois o resultado final diz que para toda e qualquer constante, usando a expressão final obtida, teremos toda a família de curvas solução

por **Flavio Casaes** » Seg Fev 09, 2015 10:41

Muito obrigado mesmo cara

A questão do m.m.c. eu sabia, mas o que você conseguiu me alertar foi a questão da constante e era isso que tava pegando, pois sempre que tentava simplificar as duas sobrava este valor 1/2 que no caso ai pode ser somado ao C da integral e manter a uniformidade dos resultados. Entendi certo?

De qualquer forma agradeço pela atenção.