por Maou » Qua Dez 03, 2014 13:45
Olá tudo bom, a partir desta função y(x) = (x+1)?(1-x) derivando eu chego em y'(x) = ?(1-x)+1/2(x+1)1/?(1-x) mas quando vou derivar novamente y''(x) estou me perdendo no meio dos cálculos e esta ficando cada vez maior poderiam me ajudar.
Desde já agradeço.
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Maou
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por adauto martins » Qua Dez 03, 2014 15:09
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por lucas_carvalho » Qua Dez 03, 2014 15:12
Olá!
Para derivar funções desse tipo precisamos da regra da multiplicação:
[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x)+g'(x)f(x)
Então:
![y' =[x+1]' . \sqrt[]{1-x} + (x+1). [\sqrt[]{x-1}]'](/latexrender/pictures/d3321ca13e0b997bb53c0c96eb04f665.png "y' =[x+1]' . \sqrt[]{1-x} + (x+1). [\sqrt[]{x-1}]'")
![y'=\sqrt[]{1-x} - \frac{x+1}{2\sqrt[]{1-x}}](/latexrender/pictures/b26987de1767536903a2dd3f0301e509.png "y'=\sqrt[]{1-x} - \frac{x+1}{2\sqrt[]{1-x}}")
Agora é só calcular a segunda derivada, lembrado que a derivada de uma subtração é igual a subtração das derivadas:
![y''= [\sqrt[]{1-x}]' -[\frac{x+1}{2\sqrt[]{1-x}}]'](/latexrender/pictures/4a86d40ed83682d06b2d59d945edc230.png "y''= [\sqrt[]{1-x}]' -[\frac{x+1}{2\sqrt[]{1-x}}]'")
![y'' = -\frac{1}{2\sqrt[]{1-x}} - \frac{1}{2}. \frac{\sqrt[]{1-x}+\frac{x+1}{2\sqrt[]{1-x}}}{1-x}](/latexrender/pictures/c4e585f46c54bb61a05531f9186181e9.png "y'' = -\frac{1}{2\sqrt[]{1-x}} - \frac{1}{2}. \frac{\sqrt[]{1-x}+\frac{x+1}{2\sqrt[]{1-x}}}{1-x}")
![y'' = -\frac{1}{2\sqrt[]{1-x}}- \frac{3-x}{4\sqrt[]{(1-x)^3}}](/latexrender/pictures/2da260342753b73bbcdb12a34eaf7e12.png "y'' = -\frac{1}{2\sqrt[]{1-x}}- \frac{3-x}{4\sqrt[]{(1-x)^3}}")
Espero ter ajudado!
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lucas_carvalho
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Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais
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por Nina » Qui Nov 05, 2009 20:52
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Sex Nov 06, 2009 13:02
Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais
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Assunto:
Taxa de variação
Autor:
felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44
Como resolvo uma questao desse tipo:
Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?
A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é
Alguem me ajuda? Agradeço desde já.
Assunto:
Taxa de variação
Autor:
Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47
V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3
V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³
Derivando:
dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3
Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s
Assunto:
Taxa de variação
Autor:
Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17
Temos que o volume é dado por:
Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:
Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:
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![y=(x+1)\sqrt[]{1-x}....](/latexrender/pictures/565688fe13fa37a11a704b304252de71.png "y=(x+1)\sqrt[]{1-x}....")
,vamos usar a derivada do produto,ou seja...(f.g)'=f'.g+fg'...logo...![y'=\sqrt[]{1-x}+(x+1)(1/2)(-1/\sqrt[]{1-x})=\sqrt[]{1-x}-(x+1/2.\sqrt[]{1-x})](/latexrender/pictures/c20d0ce1c025cd1bb7c33e6e023e5067.png "y'=\sqrt[]{1-x}+(x+1)(1/2)(-1/\sqrt[]{1-x})=\sqrt[]{1-x}-(x+1/2.\sqrt[]{1-x})")
...![y'=(1-x)-(x+1)/(2.\sqrt[]{1-x})=-2x/(2.\sqrt[]{1-x})=-x/(\sqrt[]{1-x})](/latexrender/pictures/5ac0329d4335151ccac6523690f7a459.png "y'=(1-x)-(x+1)/(2.\sqrt[]{1-x})=-2x/(2.\sqrt[]{1-x})=-x/(\sqrt[]{1-x})")
...aqui agora e usar a derivada do quociente,ou seja...
,entao...![y''=((-1).\sqrt[]{1-x}-(-x).(1/2)(-1/\sqrt[]{1-x}))/({\sqrt[]{1-x}})^{2}](/latexrender/pictures/06bd6d72e03b1985538da51e0814bb6a.png "y''=((-1).\sqrt[]{1-x}-(-x).(1/2)(-1/\sqrt[]{1-x}))/({\sqrt[]{1-x}})^{2}")
![=-\sqrt[]{1-x}-x/(2.\sqrt[]{1-x}).(1-x))](/latexrender/pictures/151354598db4cb062738e417fd36b9dd.png "=-\sqrt[]{1-x}-x/(2.\sqrt[]{1-x}).(1-x))")
![=-2.({1-x})^{2}-x/(2.\sqrt[]{({1-x})^{3}})](/latexrender/pictures/128412d4663d365afdcf42ef10f61749.png "=-2.({1-x})^{2}-x/(2.\sqrt[]{({1-x})^{3}})")
![=-2(1-2x+{x}^{2})-x/(2.\sqrt[]{({1-x})^{3}})](/latexrender/pictures/7dc63ef0342c36a69033816af752afaa.png "=-2(1-2x+{x}^{2})-x/(2.\sqrt[]{({1-x})^{3}})")
![\Rightarrow y''=-{x}^{2}+x-2/(\sqrt[]{({1-x})^{3}})](/latexrender/pictures/8fd1df867858a2caa8457bf871fb1974.png "\Rightarrow y''=-{x}^{2}+x-2/(\sqrt[]{({1-x})^{3}})")